Показательные неравенства на ЕГЭ по математике
Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.
1. 2x > 8.
Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:
2x > 23.
Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2x.

Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2x1 > 2x2, то x1 > x2 . Итак, от неравенства 2x > 23 можно перейти к алгебраическому неравенству
x > 3.
Ответ:
.
2. Следующее неравенство:
2x > 7.
Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:
7 = 2log27.
Получаем:
2x > 2log27;
x > log27.
3. Еще одно неравенство:
.
Здесь правую часть удобно представить как
.
.
Вспомним, как выглядит график функции
:

Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства
следует, что x < 4. Знак неравенства меняется! Похожая ситуация возникает и при решении логарифмических неравенств.
4. Рассмотрим неравенство log3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.
Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»
Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?
Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.
Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?
Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.
Итак, x > 5.
Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.
5. log5(15 + 3x) > log52x.
Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.
Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.
15 + 3x > 2x.
Получаем: x > −15.
Итак,

Ответ: x > 0.
А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.
Приведем пример.
6. \geq&space;log_{\frac{5}{6}}x.)
Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.
Поскольку
, логарифмическая функция с основанием
монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если
, то
2x − 9 ≤ x.
Получим, что x ≤ 9.
Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:
x ∈ (4,5; 9].
В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «Квадратные неравенства» рекомендуем повторить.
7. 4x − 2 · 52x − 10x > 0.
Заметим, что 4x = 22x, 10x=5x·2x, и запишем неравенство в виде:
22x − 5x·2x − 2 · 52x > 0.
Разделим обе части на положительную величину 52x и обозначим
. Получим квадратное неравенство:
t2 − t − 2 > 0.
Кроме того, t > 0.
Графиком функции y = t2 − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t2 − t − 2 = 0, получим t1 = −1, t2 = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.

Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t2 − t − 2 > 0 и t > 0.

Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.
Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что
и получим:
.
Представим 2 в виде степени с основанием
:
.
Получим: x <
.
Подведем итоги. И показательные, и логарифмические неравенства решаются практически одинаково. В первом случае — «отбрасываем» основания. Во втором — «отбрасываем» логарифмы. При этом, если основание больше единицы, знак неравенства сохраняется. Если основание меньше единицы — знак неравенства меняется на противоположный.
Показательные неравенства |
Логарифмические неравенства |
 |
 |
 |
 |
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Показательные неравенства на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
06.09.2023