Показательные неравенства на ЕГЭ по математике

Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.

1. 2^x > 8.

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:

2^x > 2³.

Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2^x.

Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2^x₁ > 2^x₂, то x₁ > x₂ . Итак, от неравенства 2^x > 2³ можно перейти к алгебраическому неравенству
x > 3.

Ответ: .

2. Следующее неравенство:

2^x > 7.

Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:

7 = 2^log₂7.

Получаем:

2^x > 2^log₂7;

x > log₂7.

3. Еще одно неравенство:

.

Здесь правую часть удобно представить как .

.

Вспомним, как выглядит график функции :

Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства следует, что x < 4. Знак неравенства меняется! Похожая ситуация возникает и при решении логарифмических неравенств.

4. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

5. log₅(15 + 3x) > log₅2x.

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

6.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «Квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

7. 4^x − 2 · 5^2x − 10^x > 0.

Заметим, что 4^x = 2^2x, 10^x=5^x·2^x, и запишем неравенство в виде:

2^2x − 5^x·2^x − 2 · 5^2x > 0.

Разделим обе части на положительную величину 5^2x и обозначим . Получим квадратное неравенство:

t² − t − 2 > 0.

Кроме того, t > 0.

Графиком функции y = t² − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t² − t − 2 = 0, получим t₁ = −1, t₂ = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.

Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t² − t − 2 > 0 и t > 0.

Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.

Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что и получим:

.

Представим 2 в виде степени с основанием :

.

Получим: x < .

Подведем итоги. И показательные, и логарифмические неравенства решаются практически одинаково. В первом случае — «отбрасываем» основания. Во втором — «отбрасываем» логарифмы. При этом, если основание больше единицы, знак неравенства сохраняется. Если основание меньше единицы — знак неравенства меняется на противоположный.

Показательные неравенства	Логарифмические неравенства