Правильный шестиугольник

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?

Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: \(S_1 = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 4}a^2\).

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

\(S = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\sqrt{3}}{\displaystyle 2}a^2\), где \(a\) — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольника.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.

Он равен \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}a\).

Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной \(\sqrt{3}\).

Радиус такой окружности равен \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}a\).

Ответ: \(1,5\).

2. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Ответ: \(6\).

3. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.