Раньше это задание было в вариантах Профильного ЕГЭ под номером 1 и считалось одним из самых легких. И тем не менее даже отличники часто ошибаются, решая такие задачи. Почему? – Потому что не прочитали условие или допустили арифметическую ошибку. Внимательно читайте условие и проверяйте решение. И не спешите.
Задачи в этой статье специально подобраны так, чтобы представить все возможные типы заданий с таким номером. Часть из них взяты из Банка заданий ФИПИ, другие – авторские.
1. Стоимость 1 килограмма тыквы составляет 75 рублей. Антон купил тыкву весом 4 кг 400 г. Сколько рублей сдачи он должен получить с 350 рублей?
Купленная тыква стоит \( 4,4 \cdot 75 = 330\) рублей. Сдача с 350 рублей составит \(350 - 330 = 20\) рублей.
2. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
За 1 секунду бегун пробежит 10 метров. За 60 секунд (1 минуту) 600 метров. За 1 час он пробежал бы с той же скоростью в 60 раз больше, т.е. \(60\cdot600=36000\) метров. Скорость бегуна 36 км/ч.
3. Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы 6200 км.
Вылет и прилет всегда указываются по местному времени. Если бы самолет вылетел из Магадана ровно в 15.00 по местному времени, он бы находился в пути 8 часов. Поскольку время вылета 15.15, самолет был в полете 7 часов 45 минут, то есть \(7\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{31}{4}\) часа.
\(S=v \cdot t; v=\displaystyle \frac{6200 км/ч}{\frac{31}{4} часа}=\frac{6200\cdot 4}{31}=800 км/ч.\)
Вспомним правила округления чисел.
Мы применяем их для десятичных дробей, заменяя число на его приближённое значение, записанное с меньшим количеством значащих цифр. Однако в задачах ЕГЭ мы руководствуемся не только правилами округления, но здравым смыслом.
4. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
Правильный ответ: 12 шлюпок. Делим 775 на 70, получаем 11 и 5 в остатке. Значит, одиннадцать шлюпок будут полностью загружены пассажирами, а в двенадцатой будет сидеть пять человек. И даже если бы там было два человека или один, все равно ответ — 12 шлюпок. Ответ «одиннадцать, а остальные как-нибудь доплывут» — не принимается, это не фильм «Титаник».
В этой задаче мы округлили с избытком. Так же, как и в следующей.
5. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 кв. м?
Чтобы покрасить 50 кв. метров. потолка, нужно \( 50 \cdot 240 = 12 000 г = 12 кг\) краски. Разделив 12 на 2,5, получим 4,8. Округляем в сторону большего! Неполную банку краски вам не продадут.
Ответ: 5.
6. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
Больному нужно принять \(0,5 \cdot 3 \cdot 21 = 31,5\) г лекарства. В одной упаковке содержится \(0,5 \cdot 10 = 5\) г лекарства. Разделив 31,5 на 5, получим 6,3. Округляем до большего.
Ответ: 7.
А в следующих двух задачах мы округляем до меньшего (с недостатком).
7. Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 50 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
По условию, 1 миля равна 1609 м, 50 миль/ч составляют \(50\cdot1609 м/ч = 80450 м/ч = 80,45 км/ч\). Округляя найденную величину, получаем 80.
8. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Никиты есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Наташе на день рождения?
Разделив 500 на 30, получим \(16\displaystyle \frac{2}{3}.\) Округлив до меньшего, получим 16. Принято, что букет должен состоять из нечетного числа тюльпанов. Значит, ответ: 15.
Во многих задачах используется понятие — процент.
Вспомним, что \(1\%\) — это одна сотая часть от чего-либо.
Что такое дробь (то есть часть) от числа? Когда мы говорим «одна четверть от \(x\)» — это значит, что дробь \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\) умножается на величину \(x\). «\(2 \%\) от \(60\) минут» означают, что \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 100}\) надо умножить на \(60\).
Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь умножить на это число.
Итак, \(10\%=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 10}{\displaystyle 100}=0,01\) от какой-либо величины;
\(25\%=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 25}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\);
\(60\%=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 60}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}\);
\(5\%=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}\).
В задачах (да и в жизни) часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит?
Повышение цены на \(10\%\) означает, что к прежней цене \(x\) прибавили \(0,1x\). Наоборот, скидка на \(25\%\) означает, что прежняя цена уменьшилась на \(25\%\). Если первоначальная цена равна \(x\), то новая цена составит \(x-0,25x=0,75x\).
9. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10 \(\%\)?
Очевидно, что 10\(\%\) от 40 — это \(\left( 10/100 \right)\cdot 40=0,1\cdot 40=4\).
Новая цена ручки составит 44 рубля. На 900 рублей можно купить 20 ручек.
Легко? Да, очень легко. Однако не будем слишком расслабляться. Даже среди детских задач под номером 1 встречаются интересные экземпляры.
Вот, например, задача №1, с которой справляются далеко не все выпускники:
10. Цена на электрический чайник была повышена на 16\(\%\) и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Запомним важное правило: за \(100\%\) принимается та величина, с которой мы сравниваем. Цена была повышена на \(16\%\) по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это \(100\%\), новая цена — \(116\%\). Составляем пропорцию:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 100\%}{\displaystyle 116\%}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x}{\displaystyle 3480}.\)
Решаем пропорцию. Получаем, что \(x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3480 \cdot 100}{\displaystyle 116}=3000\) рублей.
Напомним, что пропорция — это равенство вида \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle c}{\displaystyle d}\). Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть \(a \cdot d=b \cdot c\).
Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.
Например, из пропорции \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle x}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle c}{\displaystyle d}\) находим \(x\):
\(a \cdot d=x \cdot c;\)
\(x= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a \cdot d}{\displaystyle c}.\)
Еще одна задача на проценты. Обратите на нее внимание — она не так проста, как может показаться на первый взгляд.
11. Налог на доходы составляет \(13\%\) от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Константиновны?
Марья Константиновна получила 9570 рублей после удержания налога. Следовательно, у нее уже удержали, а выдали ей ее заработной платы. Составляем пропорцию:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 9570}{\displaystyle x}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 87}{\displaystyle 100}.\)
Решаем пропорцию:
\(x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 9570 \cdot 100}{\displaystyle 87}.\)
Получаем, что зарплата Марьи Константиновны составляет одиннадцать тысяч рублей. Возможно, эта печальная история бедной женщины поможет вам выбрать себе правильное будущее :-)
Следующая задача — самая сложная из тех, которые могут вам встретиться под номером 1.
12. В городе \(N\) живет 200000 жителей. Среди них \(15\%\) детей и подростков. Среди взрослых \(45\%\) не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
В чем сложность этой задачи и почему ее редко решают правильно? Дело в том, что «\(15\) процентов» или «\(45\) процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.
Получим, что дети и подростки составляют от жителей. Значит, их число — это \(15\%\) от \(200000\), то есть \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 100}\) надо умножить на \(200000\). Получим, что городе \(N\) \(30000\) детей и подростков.
Следовательно, взрослых 170000.
Среди взрослых \(45\%\) не работает. Теперь за \(100\%\) мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55\(\%\) от 170000, то есть 93500.
Ответ: 93500.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
