Теорема о трех перпендикулярах

Рассмотрим чертеж. На нем изображены плоскость \(\alpha\) и лежащая в ней прямая \(m\). Наклонная \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\). Прямая \(a_{1}\)  — проекция наклонной \(a\) на плоскость \(\alpha\).

Сформулируем теорему о трех перпендикулярах:

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.

На рисунке показаны все три перпендикуляра.

Если прямая \(m\), лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Слова «тогда и только тогда» в формулировке теоремы означают, что прямая \(m\) перпендикулярна одновременно и наклонной, и ее проекции. Если \(m\) перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и ее проекции, и наоборот.

Вот как все это выглядит в пространстве:

На нашем чертеже прямая \(m\) проведена через основание наклонной. Этого требует формулировка теоремы о трех перпендикулярах в большинстве учебников. Но прямая \(m\), лежащая в плоскости, вовсе не обязана проходить через основание наклонной. Главное — чтобы она была перпендикулярна проекции наклонной. Тогда она будет перпендикулярна и самой наклонной:

Теорема о трех перпендикулярах — полезный инструмент для решения задач.

Например, с ее помощью можно доказать, что диагональ куба \(AC_{1}\) перпендикулярна прямой \(B_{1}D\):

Или — что скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны:

Или — что в правильной треугольной призме прямая \(A_{1}M\) (где \(M\) — середина \(BC\)) перпендикулярна ребру \(BC\):

Читаем дальше: Параллельное проецирование.