Рассмотрим чертеж. На нем изображены плоскость α и лежащая в ней прямая m. Наклонная a пересекает плоскость α в точке М. Прямая а1 — проекция наклонной а на плоскость α.
Сформулируем теорему о трех перпендикулярах:
Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.
На рисунке показаны все три перпендикуляра.
Если прямая m, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Слова «тогда и только тогда» в формулировке теоремы означают, что прямая m перпендикулярна одновременно и наклонной, и ее проекции. Если m перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и ее проекции, и наоборот.
Вот как все это выглядит в пространстве:
На нашем чертеже прямая m проведена через основание наклонной. Этого требует формулировка теоремы о трех перпендикулярах в большинстве учебников. Но прямая m, лежащая в плоскости, вовсе не обязана проходить через основание наклонной. Главное — чтобы она была перпендикулярна проекции наклонной. Тогда она будет перпендикулярна и самой наклонной:
Теорема о трех перпендикулярах — полезный инструмент для решения задач.
Например, с ее помощью можно доказать, что диагональ куба АС1 перпендикулярна прямой BD:
Или — что скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны:
Или — что в правильной треугольной призме прямая А1М (где М — середина ВС) перпендикулярна ребру ВС.
Читаем дальше: Параллельное проецирование.
Интенсивный курс подготовки к профильному ЕГЭ по математике - 5 дней по 4 часа. До 8 человек в группе. Ведущая курса – Малкова Анна Георгиевна
