Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения \(\overrightarrow{g}\) направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной: \(\overrightarrow{a}.\)
Вот другой пример.
Автомобиль движется из \(A\) в \(B\). Конечный результат — его перемещение из точки \(A\) в точку \(B\) , то есть перемещение на вектор \(\overrightarrow{AB}.\)
Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается:\(|\overrightarrow{ a}| \) или \( | \overrightarrow{ AB}|.\)
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по \(x\) и \(y\), абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами: \( \overrightarrow{a}(x_{a}; y_{a}).\)
Здесь в скобках записаны координаты вектора \(\overrightarrow{a}\) — по \(x\) и по \(y\).
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
\(\overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A}; y_{B}-y_{A})\)
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле \(|\overrightarrow{ a}|=\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}}\)
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов. \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}.\)
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).
К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
\(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}\)
Представьте, что вы идете из пункта \(A\) в пункт \(B\), из \(B\) в \(C\), из \(C\) в \(D\), затем в \(E\) и в \(F\). Конечный результат этих действий — перемещение из \(A\) в \(F\).
При сложении векторов \(\overrightarrow{a}(x_{a};y_{a})\) и \(\overrightarrow{b}(x_{b};y_{b})\) получаем:
\(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\)
\(\overrightarrow{c}(x_{a}+x_{b};y_{a}+y_{b}).\)
к оглавлению ▴Вектор \(- \overrightarrow{c}\) направлен противоположно вектору \(\overrightarrow{c}\). Длины векторов \(\overrightarrow{c}\) и \(-\overrightarrow{c}\) равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{c}\) - это сумма вектора \(\overrightarrow{a}\) и вектора \(-\overrightarrow{c}\).
При умножении вектора \(\overrightarrow{a}\) на число \(k\) получается вектор, длина которого в \(k\) раз отличается от длины \(\overrightarrow{a}\). Он сонаправлен с вектором \(\overrightarrow{a}\), если \(k\) больше нуля, и направлен противоположно \(\overrightarrow{a}\), если \(k\) меньше нуля.
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=| \overrightarrow{a} |\cdot | \overrightarrow{b}|\cdot cos\varphi\)
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:
\( A=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{S}=F\cdot S\cdot cos\varphi.\)
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) :
\( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}.\)
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
\(cos \varphi =\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{| \overrightarrow{a} |\cdot | \overrightarrow{b}|}=\displaystyle \frac{x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}}{\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}}\cdot \sqrt{x_{b}^{2}+y_{b}^{2}}}.\)
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе вуза.
Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
