Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси \(X, \; Y\) и \(Z\). Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по \(X, \; Y\) и \(Z\). Например, запись \(M(−1; 3; 2)\) означает, что координата точки \(M\) по \(X\) (абсцисса) равна \(-1\), координата по \(Y\) (ордината) равна \(3\), а координата по \(Z\) (аппликата) равна \(2\).

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами \(x, \; y\) и \(z\).

\(\vec{a}(x_{a}; \; y_{a}; \; z_{a}).\)

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

\(\vec{a}=\overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A}; \; y_{B}-y_{A}; \; z_{B}-z_{A}).\)

Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\)  в пространстве – это расстояние между точками \(A\) и \(B\). Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

\(\vec{a}\sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}.\)

Пусть точка \(M\) – середина отрезка \(AB\). Ее координаты находятся по формуле:

\(x_{M}=\displaystyle \frac{x_{A}+x_{B}}{2}; \; y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}; \; z_{M}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.\)

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма:

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три.

Возьмем векторы \(\vec{a}(x_{a}; \; y_{a}; \; z_{a})\) и \(\vec{b}(x_{b}; \; y_{b}; \; z_{b}).\)

Сумма векторов:

\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}(x_{a}+x_{b}; \; y_{a}+y_{b}; \; z_{a}+z_{b}).\)

Разность векторов:

\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{d}(x_{a}-x_{b}; \; y_{a}-y_{b}; \; z_{a}-z_{b}).\)

Произведение вектора на число:

\(\lambda \cdot \vec{a}=\vec{p}(\lambda x_{a}; \; \lambda y_{a}; \; \lambda z_{a}).\)

Скалярное произведение векторов:

\(\vec{a}\cdot \vec{b}=\left| \vec{a}\right| \cdot \left| \vec{b}\right|\cdot cos\varphi= x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}.\)

Косинус угла между векторами:

\(cos\varphi= \displaystyle \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left| \vec{a}\right|\cdot \left| \vec{a}\right|}=\frac{x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}}{\sqrt{x^{2}_{a}+y\displaystyle^{2}_{a}+z^{2}_{a}}\cdot \sqrt{x^{2}_{b}+y^{2}_{b}+z^{2}_{b}}}.\)

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) точки \(E\) и \(K\) — середины ребер соответственно \(A_{1}B_{1}\) и \(B_{1}C_{1}\). Найдите косинус угла между прямыми \(AE\) и \(BK\).

Решение:

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между \(AE\) и \(BK\) от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны \(1\).

Прямые \(AE\) и \(BK\) — скрещиваются. Найдем угол между векторами \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{BK}\). Для этого нужны их координаты.

\(A(0; 0; 0); \; B(1; 0; 0); \; E\left(\displaystyle \frac{1}{2}; 0; 1\right); \; K\left(1; \displaystyle\frac{1}{2}; 1\right).\)

Запишем координаты векторов:

\(\overrightarrow{AE}\left(\displaystyle\frac{1}{2}; 0; 1\right),\)

\(\overrightarrow{BK}\left(0; \displaystyle\frac{1}{2}; 1\right)\)

и найдем косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{BK}\):

\(cos\varphi =\displaystyle\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BK}}{| \overrightarrow{AE}|\cdot |\overrightarrow{BK}|}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 0+0\cdot \displaystyle\frac{1}{2}+1\cdot 1}{\sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{2}+0^{2}+1^{2}}\cdot \sqrt{0^{2}+\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{2}+1^{2}}}=\displaystyle\frac{1\cdot 4}{5}=0,8.\)

2. В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\), все ребра которой равны \(1\), точки \(E, \; K\) — середины ребер \(SB\) и \(SC\) соответственно. Найдите косинус угла между прямыми \(AE\) и \(BK\).

Решение:

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси \(X\) и \(Y\) сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек \(A, \; B\) и \(C\) найти легко:

\(A \left(\displaystyle\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; 0\right);\)

\(B \left(\displaystyle\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0\right);\)

\(C \left(\displaystyle-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0\right).\)

Из прямоугольного треугольника \(AOS\) найдем \(OS=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

Координаты вершины пирамиды: \(S\left(0; 0; \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right).\)

Точка \(E\) — середина \(SB\), а \(K\) — середина \(SC\). Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек \(E\) и \(K\).

\(E\left(\displaystyle\frac{1}{4}; \frac{1}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}\right);\)

\(K\left(-\displaystyle\frac{1}{4}; \frac{1}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}\right).\)

Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{BK}\):

\(\overrightarrow{AE}\left(-\displaystyle\frac{1}{4}; \frac{3}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}\right);\)

\(\overrightarrow{BK}\left(-\displaystyle\frac{3}{4}; \frac{1}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\)

и угол между ними:

\(cos\varphi =\displaystyle\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BK}}{| \overrightarrow{AE}|\cdot |\overrightarrow{BK}|}=\displaystyle \frac{1}{6}.\)

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\), все ребра которой равны \(1\), точка \(D\) — середина ребра \(A_{1}B_{1}\). Найдите косинус угла между прямыми \(AD\) и \(BC_{1}.\)

Решение:

Пусть точка \(A\) — начало координат. Возьмем ось \(X\) параллельно стороне \(BC\), а ось \(Y\) перпендикулярно ей. Другими словами, на оси \(Y\) будет лежать отрезок \(AH\), являющийся высотой треугольника \(ABC\). Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

\(A(0; 0; 0);\)

\(A_{1}(0; 0; 1);\)

\(B\left(\displaystyle\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}; 0\right);\)

\(B_{1}\left(\displaystyle\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right);\)

\(C_{1}\left(-\displaystyle\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right).\)

Точка \(D\) — середина \(A_{1}B_{1}\). Значит, пользуемся формулами для координат середины отрезка.

\(D\left(\displaystyle\frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{4}; 1\right).\)

Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC_{1}}\), а затем угол между ними:

\(\overrightarrow{AD}\left(\displaystyle\frac{1}{4}; \frac{\sqrt{3}}{4}; 1\right);\)

\(\overrightarrow{BC_{1}}(-1; 0; 1);\)

\(cos\varphi =\displaystyle\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC_{1}}}{| \overrightarrow{AD}|\cdot |\overrightarrow{BC_{1}}|}=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{10}}.\)

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

\(Ax+By+Cz+D=0.\)

Здесь числа \(A, \; B\) и \(C\) — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо \(x, \; y\) и \(z\) можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки \(M (1; 0; 1); \; N (2; −2; 0)\) и \(K (4; 1; 2).\)

Уравнение плоскости выглядит так:

\(Ax+By+Cz+D=0.\)

Подставим в него по очереди координаты точек \(M, \; N\) и \(K\).

Для точки \(M\):

\(A\cdot 1+B\cdot 0+C\cdot 1+D=0.\)

То есть \(A + C + D = 0.\)

Для точки \(N\):

\(A\cdot 2+B\cdot (-2)+C\cdot 0+D=0;\)

\(2A-2B+D=0 .\)

Аналогично для точки \(K\):

\(4A+B+2C+D=0 .\)

Получили систему из трех уравнений:

\(\left\{\begin{matrix}
A+C+D=0, \\2A-2B+D=0,
\\4A+B+2C+D=0.
\end{matrix}\right.\)

В ней четыре неизвестных: \(A, \; B, \; C\) и \(D\). Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, \(D = −2\). Тогда:

\(\left\{\begin{matrix}
A+C-2=0, \\2A-2B-2=0,
\\4A+B+2C-2=0;
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
A+C=2, \\A-B=1,
\\4A+B+2C=2.
\end{matrix}\right.\)

Выразим \(C\) и \(B\) через \(A\) и подставим в третье уравнение:

\(\left\{\begin{matrix}
C=2-A, \\B=A-1,
\\4A+A-1+4-2A=2.
\end{matrix}\right.\)

Решив систему, получим:

\(A=-\displaystyle\frac{1}{3}; \; B=-\frac{4}{3}; \; C= \frac{7}{3}.\)

Уравнение плоскости \(MNK\) имеет вид:

\(-\displaystyle\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}z-2=0.\)

Умножим обе части уравнения на \(-3\). Тогда коэффициенты станут целыми:

\(x+4y-7z+6=0.\)

Вектор \(\vec{n}(1; 4; -7)\) — это нормаль к плоскости \(MNK\).

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) имеет вид:

\(A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.\)

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

\(cos\varphi =\displaystyle\frac{\left| \vec{n_{1}}\cdot \vec{n_{2}}\right|}{\left| \vec{n_{1}}\right|\cdot \left| \vec{n_{2}}\right|}.\)

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) точки \(E\) и\(F\) — середины ребер соответственно \(A_{1}B_{1}\) и \(A_{1}D_{1}\). Найдите тангенс угла между плоскостями \(AEF\) и \(BDD_{1}\).

Решение:

Строим чертеж. Видно, что плоскости \(AEF\) и \(BDD_{1}\) пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям \(AEF\) и \(BDD_{1}\).

Сначала — нормаль к плоскости \(BDD_{1}\). Конечно, мы можем подставить координаты точек \(B, \; D\) и \(D_{1}\) в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость \(BDD_{1}\) — это диагональное сечение куба. Вектор \(\overrightarrow{AC}\) перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: \(\vec{n_{1}}=\overrightarrow{AC}(1; 1; 0).\)

Напишем уравнение плоскости \(AEF\).

\(A(0; 0; 0); \; E\left(\displaystyle\frac{1}{2}; 0; 1\right); \; F\left(0; \frac{1}{2}; 1\right).\)

Берем уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) и по очереди подставляем в него, вместо \(x, \; y\) и \(z\), соответствующие координаты точек \(A, \; E\) и \(F\).

\( A: \; 0\cdot A+0\cdot B+0\cdot C+D=0, \)

\(E: \; \displaystyle\frac{1}{2}\cdot A+0\cdot B+1\cdot C+D=0, \)

\(F: \; 0\cdot A+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot B+1\cdot C+D=0.\)

Упростим систему:

\(\left\{\begin{matrix}
D=0, \\ \displaystyle \frac{1}{2}A+C=0,
\\ \displaystyle \frac{1}{2}B+C=0.
\end{matrix}\right.\)

Пусть \(C = -1.\) Тогда \(A = B = 2.\)

Уравнение плоскости \(AEF\): \(2x+2y-z=0.\)

Нормаль к плоскости \(AEF\): \(\vec{n}(2; 2; 1) .\)

Найдем угол между плоскостями:

\(cos\varphi =\displaystyle\frac{|2+2|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{9}}=\displaystyle\frac{4}{\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\)

5. Основание прямой четырехугольной призмы \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) — прямоугольник \(ABCD\), в котором \(AB=5, \; AD=\sqrt{33}\). Найдите тангенс угла между плоскостью грани \(AA_{1}D_{1}D\) и плоскостью, проходящей через середину ребра \(CD\) перпендикулярно прямой \(B_{1}D\), если расстояние между прямыми \(A_{1}C_{1}\) и \(BD\) равно \(\sqrt{3}\).

Решение:

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» :-)

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать "параллелепипед".

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми \(A_{1}C_{1}\) и \(BD\) равно \(\sqrt{3}\)». Прямые \(A_{1}C_{1}\) и \(BD\) скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к \(A_{1}C_{1}\) и \(BD\) — это, очевидно, \(OO_{1}\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей нижнего основания, \(O_{1}\) — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок \(OO_{1}\) и равен высоте параллелепипеда.

Итак, \(AA_{1}=\sqrt{3}\).

Плоскость \(AA_{1}D_{1}D\) — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор \(\overrightarrow{AB}(5; 0; 0)\) или, еще проще, вектор \(\vec{n_{1}}(1; 0; 0)\).

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра \(CD\) перпендикулярно прямой \(B_{1}D\)». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой \(B_{1}D\) — значит, \(B_{1}D\) и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек \(B_{1}\) и \(D\) известны:

\(B_{1}\left(5; 0; \sqrt{3}\right);\)

\(D\left(0; \sqrt{33}; 0\right).\)

Координаты вектора \(\overrightarrow{B_{1}D}\) — тоже:

\(\overrightarrow{B_{1}D}=\left(-5; \sqrt{33}; -\sqrt{3}\right)=\vec{n_{2}}.\)

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

\(cos\varphi =\displaystyle\frac{5}{\sqrt{25+33+3}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{61}}.\)

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

\(1+tg^{2}\varphi =\displaystyle\frac{1}{cos^{2}\varphi }.\)

Получим:

\(tg\varphi =\displaystyle\frac{6}{5}.\)

Ответ: \(\displaystyle\frac{6}{5}.\)

Угол между прямой \(m\) и плоскостью \(\alpha\)тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть \(\vec{a}\) — вектор, лежащий на прямой \(m\) (или параллельный ей), \(\vec{n}\) — нормаль к плоскости \(\alpha\).

Находим синус угла между прямой \(m\) и плоскостью \(\alpha\) по формуле:

\(sin\varphi =\displaystyle\frac{\left| \vec{n}\cdot \vec{a}\right|}{\left| \vec{n}\right|\cdot \left| \vec{a}\right|}.\)

6. В кубе \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) точка \(E\) — середина ребра \(A_{1}B_{1}\). Найдите синус угла между прямой \(AE\) и плоскостью \(BDD_{1}\).

Решение:

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат:

\(A(1; 0; 0);\)

\(E\left(1; \displaystyle\frac{1}{2}; 1\right).\)

Находим координаты вектора \(\overrightarrow{AE}\left(0; \displaystyle\frac{1}{2}; 1\right).\)

Нужно ли нам уравнение плоскости \(BDD_{1}\)? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор \(\overrightarrow{AC}\left(-1; 1; 0\right).\)

Найдем угол между прямой и плоскостью:

\(sin\varphi =\displaystyle\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AE}|}{| \overrightarrow{AC}|\cdot | \overrightarrow{AE}|}=\displaystyle\frac{2}{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{10}}.\)

Ответ: \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{10}}.\)

Расстояние от точки \(M\) с координатами \(x_{0}, \; y_{0}\) и \(z_{0}\) до плоскости \(\alpha \), заданной уравнением

\(Ax+By+Cz+D=0\), можно найти по формуле:

\(h=\displaystyle\frac{Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.\)

7. В основании прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB=\sqrt{10}, \; AD=3\sqrt{10}.\) Высота параллелепипеда \(AA_{1}=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{5}}.\) Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(A_{1}DB.\)

Решение:

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

 

\(A(0; 0; 0);\)

\(A_{1}\left(0; 0; \displaystyle\frac{6}{\sqrt{5}}\right);\)

\(B\left(\sqrt{10}; 0; 0\right);\)

\(D\left(0; 3\sqrt{10}; 0\right).\)

Запишем уравнение плоскости \(A_{1}DB.\) Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек \(A_{1}, \; D\) и \(B\) в уравнение \(A_{x}+B_{y}+C_{z}+D\).

\(A_{1}: \; \displaystyle\frac{6}{\sqrt{5}}C+D=0,\)

\(B: \; \displaystyle\sqrt{10}A+D=0,\)

\(D: \; 3\sqrt{10}B+D=0.\)

Решим эту систему. Выберем \(D=-6\sqrt{10}.\)

Тогда \(C=5\sqrt{2}, \; A=6, \; B=2.\)

Уравнение плоскости \(A_{1}DB\) имеет вид:

\(6x+2y+5\sqrt{2}z-6\sqrt{10}=0.\)

Дальше все просто. Находим расстояние от точки \(A\) до плоскости \(A_{1}DB\):

\(h=\displaystyle\frac{\left| Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}=\displaystyle\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{50+36+4}}=\displaystyle\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{90}}=2.\)

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.