Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним определение. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

\(\angle BAC =\angle BCH;\)

\(\angle ABC =\angle ACH;\)

sin A\(\displaystyle = \frac{a}{c}=\frac{h}{b}=\frac{BH}{a};\)

cos A\(\displaystyle = \frac{b}{c}=\frac{h}{a}=\frac{AH}{b};\)

\(\displaystyle S_{ABC}= \frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}.\)

Высота проведена к гипотенузе \(AB\). Она делит треугольник \(ABC\) на два прямоугольных треугольника — \(ACH\) и \(CHB\). Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^{\circ}\). Значит, \(\angle ACH=90^{\circ}-\angle CAH\), то есть угол \(ACH\) равен углу \(ABC\). Аналогично, угол \(CAB\) равен углу \(HCB\).

Иными словами, каждый из трех углов треугольника \(ABC\) равен одному из углов треугольника \(ACH\) (и треугольника \(BCH\)). Треугольники \(ABC, ACH\) и \(BCH\) называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами.

Стороны треугольника \(ABC\) длиннее, чем стороны треугольника \(ACH\) в \(k\) раз:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AC}{\displaystyle AH} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle CH} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle AC}.\)

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольника на три подобных друг другу треугольника.

\(\triangle AHC \approx \triangle CHB \approx \triangle ACB.\)

Обратите также внимание, что площадь треугольника \(ABC\) можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту. В геометрии это называется «метод площадей» и часто применяется в решении задач.

1. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}, \; CH\) — высота, \(BC = 3, \; cos A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{35}}{\displaystyle 6}.\) Найдите \(AH\).

Решение:

Рассмотрим треугольник \(ABC\). В нем известны косинус угла \(A\) и противолежащий катет \(BC\). Зная синус угла \(A\), мы могли бы найти гипотенузу \(AB\). Найдем \(sin A\):

\(sin{}^2A=+ cos{}^2A = 1.\)

Это основное тригонометрическое тождество:

\(sin{}^2 A + \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 35}{\displaystyle 36} = 1;\)

\(sin{}^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 36};\)

\(sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\) (поскольку значение синуса острого угла положительно).

Тогда:

\(AB=BC: \sin A = 3: \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=3 \cdot 6=18.\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCH, \; \angle H = 90^{\circ}\). Поскольку \(\angle HCB = \angle A,\)

\(\sin HCB = HB : BC.\)

Отсюда \(HB=BC \cdot \sin HCB = 3 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=0,5.\)

\(AH = AB - HB=18-0,5=17,5.\)

Ответ: \(17,5\)

2. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^{\circ}, \; AB = 13, \; tg A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}\). К гипотенузе проведена высота \(CH\). Найдите \(AH\).

Решение:

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты \(a\) и \(b\).

Запишем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = 13^2.\) (1)

Нам известно также, что:

\(tg A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}.\) (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем:

\(a = \sqrt{6,5}; \; b=5\sqrt{6,5}.\)

Запишем площадь треугольника \(ABC\) двумя способами:

\(S = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ab = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ch.\)

и найдем длину \(CH = 2,5.\)

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений, как в алгебре.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Доказательство:

Из прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) и гипотенузой \(AB\):

\(sin\displaystyle \angle BAC=\frac{a}{c}.\)

Из прямоугольного треугольника \(AHC\) с прямым углом \(H\) и гипотенузой \(AC\):

\(sin\displaystyle \angle BAC=\frac{h}{b}.\)

Мы разными способами вычислили синус одного и того же угла. Приравняем полученные выражения:

\(\displaystyle \frac{h}{b}=\frac{a}{c}.\)

Найдем высоту:

\(\displaystyle h= \frac{ab}{c}.\)

Что и требовалось доказать.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны \(15\) и \(20\). Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Воспользуемся теоремой 2 о высоте прямоугольного треугольника:

Катеты \(BC\) и \(AC\) нам известны: \(BC = 15, \; AC = 20\). Найдем гипотенузу \(AB\) с помощью теоремы Пифагора:

\({AB}^2={BC}^2+{AC}^2={15}^2+{20}^2={25}^2, \; AB=25.\)

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла:

\(\displaystyle CH=\frac{15\cdot 20}{25}=12.\)

Ответ: 12.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

\(CH^2=BH\cdot AH.\)

Сейчас мы докажем эту полезную формулу.

Вспомним, что такое проекция точки на прямую. Например, из точки \(C\) опускаем \(CH\) - перпендикуляр к прямой \(AB.\) Точка \(H\) и будет проекцией точки \(C\). Тогда \(AH\) – проекция катета \(AC\), а \(BH\) – проекция катета \(BC\).

Обозначим: \(BH=c_a,\; AH=c_b.\)

Из прямоугольного треугольника \(BHC\) с прямым углом \(H\) и гипотенузой \(BC\):

\(tg\displaystyle \angle CBH=\frac{h}{c_a}.\)

Из прямоугольного треугольника \(AHC\) с прямым углом \(H\) и гипотенузой \(AC\):

\(ctg\displaystyle \angle CAH = \frac{c_b}{h}.\)

Заметим, что угол \(CBH\) – это угол \(CBA\), а угол \(CAH\) – это угол \(BAC\). Тогда:

\(tg\angle ABC=ctg\angle BAC;\)

\(tg \angle CBH=ctg\angle CAH;\)

\(\displaystyle \frac{h}{c_a}=\frac{c_b}{h}.\)

Мы воспользовались тем, что тангенс и котангенс двух разных острых углов прямоугольного треугольника равны друг другу. Это следует из определения тангенса и котангенса.

Преобразуем получившееся выражение:

\(\displaystyle h=\frac{c_a \cdot c_b}{h} \Rightarrow h^2 = c_a c_b.\)

Что и требовалось доказать.

4. На гипотенузу \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) опущена высота \(CH, \; AH = 4, \; BH = 16\). Найдите длину \(CH\).

Решение:

\(CH^2=BH\cdot AH.\)

Подставим данные задачи.

\({CH}^2=4\cdot 16=64, \; CH = 8.\)

Ответ: 8.

5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как \(3:4\), а гипотенуза равна \(50\). Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла и отрезки, на которые гипотенуза делится высотой.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AB\). Проведем высоту \(CD=h\).

Учитывая отношение катетов, обозначим их длины как: \(BC= 3x, \; AC = 4x.\)

Тогда по теореме Пифагора получим:

\(AB=\sqrt{9x^2 +16 x^2} = \sqrt{25 x^2}=5x.\)

По условию гипотенуза \(AB = 50\). Следовательно, \(x = 10, \; BC = 30, \; AC = 40.\)

Далее можно действовать разными способами. Например, так.

\(\displaystyle CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{30\cdot 40}{50}=24.\)

\(AD=AC\cdot {cos A}, \; BD=BC\cdot {cos B},\) где по определению косинуса:

\(cos A \displaystyle =\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}, \; cos B\displaystyle =\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}.\)

\(\displaystyle AD=AC\cdot \frac{4}{5}=32, \; BD=BC\cdot \frac{3}{5}=18.\)

Ответ: \(CD=24, \; AD=32, \; BD=18.\)

6. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) высота \(CD\) делит гипотенузу на отрезки \(AD = 3\) см и \(BD = 2\) см. Найти катеты треугольника.

Решение:

Найдем квадрат длины высоты с помощью теоремы 3:

\({CD}^2=AD\cdot BD=3\cdot 2=6.\)

Из прямоугольного треугольника \(ADC\) по теореме Пифагора найдем

\({AC}^2={AD}^2+{CD}^2=9+6=15, \; AC= \sqrt{15}\) см.

Из прямоугольного треугольника \(BDC\) по теореме Пифагора найдем

\({BC}^2={BD}^2+{CD}^2=4+6=10, \; BC= \sqrt{10}\) см.

Ответ: \(\sqrt{15}\) см и \(\sqrt{10}\) см.

7. Точка \(D\) является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла \(C\) треугольника \(ABC\) к гипотенузе \(AB\). Найдите \(AC\), если \(AD=8, \; AB=32.\)

Указание:

Найдите отрезок \(BD = AB - AD\), после чего задача сводится к предыдущей.

Длину высоты прямоугольного треугольника можно также найти, если известны гипотенуза и один из острых углов треугольника.

\(h = c sin\alpha cos\alpha  = c sin\beta cos\beta. \)

Докажем эту формулу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\): \(CD=AC cos \alpha. \)

В то же время из треугольника \(ABC\): \(AC=AB sin \alpha.\)

Таким образом,⁡ \(h = CD = AC cos\alpha = AB sin\alpha cos\alpha = c sin\alpha cos\alpha. \)

Аналогично, из треугольника BCD получим: \(h = CD = BC cos\beta = AB sin⁡\beta cos\beta = c sin \beta cos⁡\beta. \)

8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(10\), а один из острых углов \(15\) градусов. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла.

Решение:

Воспользуемся доказанной выше формулой:

\(h = c sin\alpha cos\alpha = 10 sin {15}^\circ cos {15}^\circ = 5sin {30}^\circ = 2,5.\)

Ответ: 2,5.

9. Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки \(6\) см и \(4\) см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме данных отрезков:

\(c=6+4=10\) см.

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе: \(h=\sqrt{6\cdot 4}=2\sqrt{6}\) см.

Площадь треугольника:

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2\sqrt{6}=10\sqrt{6}\) см\({}^2.\)

Ответ: \(10\sqrt{6}\) см\({}^2.\)

Если вам понравился наш материал - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн.