Необходимая теория:
Задание 8 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.
Геометрический смысл производной
Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.
Производная функции \(f\left ( x \right )\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.
\(\boldsymbol{f'(x_0)=tg\alpha=k}\)
1. На рисунке изображён график функции \(y\ =\ f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0 .\) Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0 .\)
Решение:
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке \(x_0\).
Достроив до прямоугольного треугольника \(ABC\), получим:
\(f'(x_0)=tg \alpha =\displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{2}{8}=0,25.\)
Ответ: 0,25.
2. На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0.\)
Найдите значение производной функции \(y = f(x)\) в точке \(x_0.\)
Решение:
Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке \(x_0\) функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке \(x_0\) образует тупой угол \(\alpha\) с положительным направлением оси \(X\). Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла \(\varphi \), смежного с углом \(\alpha\).
Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(tg \varphi = 0, 25.\) Поскольку \(\alpha + \varphi = 180^{\circ}\), имеем:
\(tg \alpha = tg(180^{\circ} -\varphi ) = - tg \varphi = -0, 25.\)
Ответ: −0, 25.
Касательная к графику функции
3. Прямая \(y\ =\ -\ 4x\ -\ 11\) является касательной к графику функции \(y\ =\ x^3 +\ 7x^2 +\ 7x\ -\ 6.\)
Решение:
Найдите абсциссу точки касания.
Запишем условие касания функции \(y=f\left(x\right)\) и прямой \(y=kx+b\) в точке \( x_0 . \)
При \(x= x_0\) значения выражений \(f\left(x\right)\) и \(kx+b\) равны.
При этом производная функции \(f\left(x\right)\) равна угловому коэффициенту касательной, то есть \(k\).
\(\left\{ \begin{array}{c}
f\left(x\right)=kx+b, \\
f^{'}\left(x\right)=k; \end{array}
\right.\)
\( \left\{ \begin{array}{c}
x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11, \\
{3x}^2+14x+7=-4.\end{array}
\right.\)
Из второго уравнения находим \( x =\ -1\) или \(x=-\displaystyle \frac{11}{3}.\) Первому уравнению удовлетворяет только \(x = -1\).
Физический смысл производной
Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.
Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.
Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = t^2 - 3t - 29\), где \(x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени \(t = 3\) с.
Решение:
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: \(x\left(t\right)=t^2-3t-29.\)
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
\( v\left(t\right)=x'\left(t\right)=2t-3.\) В момент времени \(t=3\) получим:
\(v\left(3\right)=2\cdot 3-3=3\).
Ответ: 3.
Применение производной к исследованию функций
Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если \( f'(x)> 0\), то функция \(f (x)\) возрастает.
Если \(f'(x)< 0\), то функция \(f (x)\) убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
\(f(x)\) | возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает |
\(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
5. На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\), определенной на интервале \((-3; 9).\) Найдите количество точек, в которых производная функции \(f(x)\) равна \(0\).
Решение:
Производная функции \(f {'}(x)=0\) в точках максимума и минимума функции \(f(x).\) Таких точек на графике \(5\).
Ответ: 5.
6. На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) — производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-6; 5)\). В какой точке отрезка \([-1; 3] \) функция \(f(x)\) принимает наибольшее значение?
Решение:
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.
На отрезке \([-1;3]\) производная функции \(f(x)\) положительна.
Значит, функция \(f(x)\) возрастает на этом отрезке. Большим значениям \(x\) соответствует большее значение \(f(x).\) Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке \(3\).
Ответ: 3.
7. На рисунке изображён график функции \(y= f(x)\), определённой на интервале \((-3; 8)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y = 1.\)
Решение:
Прямая \(y=1\) параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции \(y = f(x)\) точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике \(7\). Это точки максимума и минимума.
Ответ: 7.
8. На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-7; 14).\) Найдите количество точек максимума функции \(f(x)\) на отрезке \([-6; 9].\)
Решение:
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке \([-6; 9]\) такая точка всего одна! Это \(x=7.\)
Ответ: 1.
9. На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-6; 5).\) Найдите точку экстремума функции \(f(x) \) на отрезке \([-5; 4].\)
Решение:
Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке \([- 5; 4]\) график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке \( x = -2.\) В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, \(x= -2\) является точкой экстремума.
Первообразная и формула Ньютона-Лейбница
Функция \(F(x)\), для которой \(f(x)\) является производной, называется первообразной функции \(y = f(x).\) Функции вида \(y = F(x) + C\) образуют множество первообразных функции \(y = f(x).\)
10. На рисунке изображён график \(y = F(x)\) — одной из первообразных некоторой функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-6; 6).\) Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения \(f(x)=0\) на отрезке \([-4; 4] .\)
Решение:
Функция \(F(x),\) для которой \(f(x)\) является производной, называется первообразной функции \(y = f(x).\)
Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку \( [-4; 4] \) , в которых производная функции \(F(x)\) равна нулю. Это точки максимума и минимума функции \(F(x).\) На отрезке \([-4; 4]\) таких точек \(4\).
Ответ: 4.
Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» - в этой статье
Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.