Анна Малкова
Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.
1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).
О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.
При каких значениях параметра a уравнение
\(\left| x^2-a^2 \right|=|x+a|\cdot \sqrt{4x+a^2-8a}\)
имеет ровно 2 решения?
Решение:
Уравнение равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
4x+a^2-8a\geq 0 \\
(x^2-a^2)^2=(x+a)^2(4x+a^2-8a)
\end{matrix}\right.\)
Второе уравнение:
\((x-a)^2(x+a)^2-(x+a)^2(4x+a^2-8a)=0\)
\((x+a)^2\left ((x-a)^2-(4x+a^2-8a) \right )=0\)
Вынесли общий множитель за скобку
\((x+a)^2(\underline{x}^2-\underline{2ax}+\not a^2-\underline{4x}-\not a^2+8a)=0\)
\((x+a)^2(x^2-2ax-4x+8a)=0\)
\((x+a)^2(x(x-2a)-4(x-2a))=0\)
\((x+a)^2(x-4)(x-2a)=0\)
Корни уравнения:
\(\left[\begin{array}{c}
x=-a\\
x=4\\
x=2a
\end{array}
\right.\)
При этом :
\(4x+a^2-8a\geq 0\)
Получим:
\(\left[\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x=-a \\
a^2-12a\geq 0
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=4 \\
(a-4)^2\geq 0
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=2a \\
a^2\geq 0
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)
Так как \(a^2\geq 0\) и \((a-4)^2\geq 0\) при всех \(a,\) исходное уравнение имеет корни \(x=4\) и \(x=2a\) при всех \(a.\) Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:
1) система \(\left\{\begin{matrix}
x=-a \\
a^2-12a\geq 0
\end{matrix}\right.\)
не имеет решений и
2) совпадение корней
Рассмотрим первый случай.
Неравенство \(a^2 -12a \geq 0\) — не имеет решений, если \(0 \textless a \textless 12.\)
Рассмотрим второй случай.
1) Корни \(x=4\) и \(x=2a\) совпадают, тогда \(2a=4\) и \(a=2.\)
Так как \(0\textless 2\textless 12,\) исходное уравнение при \(a=2\) имеет один корень
2) Корни \(x=-a\) и \(x=2a\) совпадают.
Тогда \(a=0.\)
Уравнение имеет корни \(x=4\) и \(x=0.\)
3) Корни \(x=-a\) и \(x=4\) совпадают, \(a=-4,\) исходное уравнение имеет ровно два корня.
Получим:
\(a \in \left\{ -4 \right\} \cup \left [ 0;2 \right ) \cup \left ( 2; 12 \right ).\)
Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.
На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.
2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).
Найти a, при которых \(\left | x^2 - a^2 \right | = \left | x+ a \right | \cdot (4x + 3)\) имеет ровно 2 решения.
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат.
\(\left ( x-a \right )^2\left ( x+a \right )^2=\left ( x+a \right )^2\left (4x+3 \right )^2\)
\(\left ( x+a \right )^2\left ( \left ( x-a \right )^2-\left ( 4x+3 \right )^2 \right )=0\)
\(\left ( x+a^2 \right )\left ( x-a-4x-3 \right )\left ( x-a+4x+3 \right )=0\)
\(\left ( x+a\right )^2\left (-3x-a-3 \right )\left (5x-a+3 \right )=0 \Leftrightarrow \)
\(\displaystyle \left [\begin{array}{c}
x=-a\\
x=-\frac{a+3}{3}\\
x=\frac{a-3}{5}
\end{array}\right.
;\)
Найдем, каким значениям параметра \(a\) соответствует ровно два значения \(x.\)
Построим в системе координат \((x; \: a)\) графики функций: \(\displaystyle x=-a; \: x=-\frac{a}{3}-1; \: x=\frac{a-3}{5}\)
Мы находим такие \(a_0,\) при которых горизонтальная прямая \(a= a_0\) имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.
Видим, что в общем случае прямая \(a= a_0\) пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая \(a= a_0\) проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.
\(\displaystyle \left [\begin{array}{c}
x=-a\\
x=-\frac{a}{3}-1\\
x=\frac{a-3}{5}
\end{array}\right.
;\)
Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.
1) \(\displaystyle x=-a=-\frac{a}{3}-1\)
\(\displaystyle \frac{2a}{3}=1;\; a=\frac{3}{2}\)
2) \(\displaystyle x=-a=\frac{a-3}{5};\)
\(-5a=a-3;\)
3) \(\displaystyle -\frac{a}{3}-1=\frac{a-3}{5}; \)
\(\displaystyle \frac{-a-3}{3}=\frac{a-3}{5};\)
\(-5a-15=3a-9\)
\(8a=-6\)
\(\displaystyle a=-\frac{3}{4}\)
О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.
3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.
С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\(a\left | x+1 \right |+\left ( 1-a \right )\left | x-1 \right |+2=0\)
имеет ровно два различных корня.
Решение:
Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:
\(\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1\\
a\cdot \left ( -x-1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
-1\textless x\leq 1\\
a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
x \textgreater 1\\
a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)
Мы сделали так, потому что при \(x\leq -1\) оба модуля раскрываем с противоположным знаком:
\(\left | x+1 \right |=-x-1;\)
\(\left | x-1 \right |=1-x;\)
При \(-1 \textless x\leq 1\) получим:
\(\left | x+1 \right |=x+1; \)
\(\left | x-1 \right |=1-x;\)
При \(x \textgreater 1\) получим: \(\left | x+1 \right |=x+1, \; \left | x-1 \right |=x-1.\)
\(\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1\\
-ax-a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
-1\textless x\leq 1\\
ax+a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
x \textgreater 1\\
ax+a+ \left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow
\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1\\
-\not{ax}-a+\not{ax}-x-a+1+2=0
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
-1\textless x\leq 1\\
ax+\not{a}+ax-x-\not{a}+1+2=0
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
x \textgreater 1\\
\not{ax}+a +x-\not{ax}-1+a+2=0
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow
\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1\\
3-x-2a=0
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
-1\textless x\leq 1\\
2ax-x+3=0
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
x \textgreater 1\\
2a+x+1=0
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1\\
a=\frac{3-x}{2}
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
-1\textless x\leq 1\\
a=\frac{x-3}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2x}
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
x \textgreater 1\\
a=\frac{-x-1}{2}
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)
Заметим, что если \(x =0,\) уравнение \(2ax-x+3=0\) не выполняется ни при каких \(a.\)
Решим графически полученную совокупность.
Рассмотрим функцию \(a(x),\) такую, что:
Для функции \(\displaystyle a=\frac{1}{2}\cdot \left ( 1-\frac{3}{x} \right )\) ось ординат – вертикальная асимптота.
\(x=-1\) – точка минимума, \(a(-1)=2;\)
\(x=1\) – точка максимума, \(a(1)=-1.\)
Уравнение имеет ровно два корня при \(a\textless -1\) или \(a \textgreater 2.\)
Ответ: \(\left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )\)
Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.
4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. Затем мы разобьем координатную плоскость \((x; a)\) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.
При каких значениях параметра \(a\) уравнение
\(|x^2-a^2|+8=|x+a|+8|x-a|\) имеет ровно три различных решения
Решение:
Поскольку \(|ab|=|a|\cdot|b|,\) получим:
\(|(x-a)(x+a)|+8=|x+a|+8|x-a|,
\\
\\
|x-a|\cdot|x+a|-8|x-a|-|x+a|+8=0;
\\
\\
|x-a|\cdot(|x+a|-8)-(|x+a|+8)=0;
\\
\\
(|x-a|-1)\cdot(|x+a|+8)=0;
\)
\(
\left[
\begin{gathered}
|x-a|=1 \\
|x+a|=8
\end{gathered}
\right.
\); \(
\left[
\begin{gathered}
x-a=1 \\
x-a=-1 \\
x+a=8 \\
x+a=-8
\end{gathered}
\right.
\)
Мы хотим найти, при каких значениях параметра \(a\) эта совокупность уравнений имеет ровно 3 различных решения.
Выразим в каждом уравнении \(a\) через \(x\):
\(
\left[
\begin{gathered}
a=x-1 \\
a=x+1 \\
a=8-x \\
a=-8-x
\end{gathered}
\right.
\)
Изобразим графики этих уравнений в системе координат \((x;a).\)
Если прямая \(a=a_0\) пересекает совокупность прямых 3 раза, исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Это происходит, если прямая \(a=a_0\) проходит через одну из точек \(A, B, C\) или \(D\) на рисунке. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем значение параметра \(a\) для каждой из этих точек.
1) В точке \(A\) пересекаются прямые \(a=-x-8\) и \(a=x-1.\)
Для точки \(A:\)
\(
\begin{cases}
a=-x-8 \\
a=x-1
\end{cases}
\\
\\
-x-8=x-1;
\\
\\
2x=-7, x=-3,5;
\\
\\
a=-4,5.
\)
2) Точка \(B:\)
\(
\begin{cases}
a=-x-8 \\
a=x+1
\end{cases}
\\
\\
-x-8=x+1;
\\
\\
2x=-9, x=-4,5;
\\
\\
a=-3,5.
\)
3) Точка \(C:\)
\(
\begin{cases}
a=x+1 \\
a=8-x
\end{cases}
\\
\\
x+1=8-x;
\\
\\
x=3,5;
\\
\\
a=4,5.
\)
4) Точка \(D:\)
\(
\begin{cases}
a=x-1 \\
a=8-x
\end{cases}
\\
\\
x+1=8-x;
\\
\\
2x=9, x=4,5
\\
\\
a=3,5.
\)
Мы нашли все случаи, когда исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ответ: \(\pm3,5;\pm 4,5\)
5. (Резервный день) Найти все значения параметра \(a,\) при каждом из которых уравнение
\(\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0\)
имеет хотя бы два различных корня.
Решение:
\(\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0\)
Замена: \(x^2=t, \; t \geq 0.\)
Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение
\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\)
имеет хотя бы один корень \(t \geq 0.\)
Если t = 0, то x = 0, тогда \(\left | a-12 \right |=0, \;a=12.\)
Этот случай рассмотрим отдельно.
1) Случай \(t \textgreater 0,\) уравнение
\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\) должно иметь хотя бы один положительный корень.
Если \(\left | a-2 \right |=0, \; a=2,\) уравнение линейное, тогда
\(-4t+\left | 2-12 \right |=0\)
\(4t=10, \; t=2,5 \textgreater 0; \; a=2\) – подходит.
Пусть \(\left | a-2 \right |\ne 0,\) уравнение квадратное.
\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\)
сумма корней: \(\displaystyle t_1+t_2=\frac{2a}{\left | a-2 \right |}\)
произведение корней: \(\displaystyle t_1 t_2=\frac{\left | a-12 \right |}{\left | a-2 \right |} \geq 0\)
Если \(t_1 \textgreater 0,\) то \(t_2 \geq 0 .\)
Тогда \(t_1+t_2 \textgreater 0, \) т.к. \(\displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} \textgreater 0, \; a\textgreater 0 .\)
При этом должно выполняться условие \(D \geq 0.\)
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}
a \ne 2\\
a \textgreater 0\\
4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0
\end{matrix}\right.\)
Решим третье неравенство системы:
\(a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0\)
\(a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |;\) возведем обе части в квадрат:
\(a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;\)
\(a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;\)
\(\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0\)
\(\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0\)
\(\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0\)
\(\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0\)
\(\left[\begin{array}{c}
\frac{12}{7}\leq a\leq 3
\\
a\geq 4
\end{array}\right.
,\) при этом \(a \ne 2,\) \(a \textgreater 0.\)
Объединив со случаем a = 2, получим:
\(\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right )\)
Вернемся к случаю, когда \(t=0\) – корень уравнения. Тогда \(\left | a-12 \right |=0,\) \(a=12.\) Получим уравнение:
\(10t^2-24t=0,\)
\(5t^2-6t=0\)
\(t(5t-6)=0\) – уравнение имеет, кроме корня \(t=0,\) положительный корень \(\displaystyle t=\frac{6}{5},\) подходит \(a=12.\)
Ответ: \(\displaystyle a\in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [ 4;+\infty \right )\)
Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.
Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.
