previous arrow
next arrow
Slider

Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Анна Малкова

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left| x^2-a^2 \right|=|x+a|\cdot \sqrt{4x+a^2-8a}\) имеет ровно 2 решения?

Решение:

Уравнение равносильно системе:

\(\left\{\begin{matrix}
4x+a^2-8a\geq 0, \\
(x^2-a^2)^2=(x+a)^2(4x+a^2-8a).
\end{matrix}\right.\)

Второе уравнение:

\((x-a)^2(x+a)^2-(x+a)^2(4x+a^2-8a)=0;\)

\((x+a)^2\left ((x-a)^2-(4x+a^2-8a) \right )=0.\)

Вынесли общий множитель за скобку:

\((x+a)^2(\underline{x}^2-\underline{2ax}+\not a^2-\underline{4x}-\not a^2+8a)=0;\)

\((x+a)^2(x^2-2ax-4x+8a)=0;\)

\((x+a)^2(x(x-2a)-4(x-2a))=0;\)

\((x+a)^2(x-4)(x-2a)=0.\)

Корни уравнения:

\(\left[\begin{array}{c}
x=-a,\\
x=4,\\
x=2a.
\end{array}
\right.\)

При этом: \(4x+a^2-8a\geq 0.\)

Получим:

\(\left[\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x=-a, \\
a^2-12a\geq 0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=4 ,\\
(a-4)^2\geq 0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=2a, \\
a^2\geq 0.
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)

Так как \(a^2\geq 0\) и \((a-4)^2\geq 0\) при всех \(a,\) исходное уравнение имеет корни \(x=4\) и \(x=2a\) при всех \(a.\) Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

1) система \(\left\{\begin{matrix}
x=-a, \\
a^2-12a\geq 0
\end{matrix}\right. \; \) не имеет решений;

2) совпадение корней.

Рассмотрим первый случай.

Неравенство \(a^2 -12a \geq 0\) — не имеет решений, если \(0 < a <  12.\)

Рассмотрим второй случай.

1) Корни \(x=4\) и \(x=2a\) совпадают, тогда \(2a=4\) и \(a=2.\)

Так как \(0<  2< 12,\) исходное уравнение при \(a=2\) имеет один корень.

2) Корни \(x=-a\) и \(x=2a\) совпадают.

Тогда \(a=0.\)

Уравнение имеет корни \(x=4\) и \(x=0.\)

3) Корни \(x=-a\) и \(x=4\) совпадают, \(a=-4,\) исходное уравнение имеет ровно два корня.

Получим: \(a \in \left\{ -4 \right\} \cup \left [ 0;2 \right ) \cup \left ( 2; 12 \right ).\)

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат \((a; x)\).

Найти \(a\), при которых \(\left | x^2 - a^2 \right | = \left | x+ a \right | \cdot (4x + 3)\) имеет ровно 2 решения.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат.

\(\left ( x-a \right )^2\left ( x+a \right )^2=\left ( x+a \right )^2\left (4x+3 \right )^2;\)

\(\left ( x+a \right )^2\left ( \left ( x-a \right )^2-\left ( 4x+3 \right )^2 \right )=0;\)

\(\left ( x+a^2 \right )\left ( x-a-4x-3 \right )\left ( x-a+4x+3 \right )=0;\)

\(\left ( x+a\right )^2\left (-3x-a-3 \right )\left (5x-a+3 \right )=0 \Leftrightarrow \displaystyle \left [\begin{array}{c}
x=-a,\\
x=-\displaystyle \frac{a+3}{3},\\
x=\displaystyle \frac{a-3}{5}.
\end{array}\right. \)

Найдем, каким значениям параметра \(a\) соответствует ровно два значения \(x.\)

Построим в системе координат \((x; \: a)\) графики функций: \(\displaystyle x=-a; \: x=-\frac{a}{3}-1; \: x=\frac{a-3}{5}.\)

Мы находим такие \(a_0,\) при которых горизонтальная прямая \(a= a_0\) имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая \(a= a_0\) пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.

Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая \(a= a_0\) проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

\(\displaystyle \left [\begin{array}{c}
x=-a,\\
x=-\displaystyle\frac{a}{3}-1,\\
x=\displaystyle \frac{a-3}{5}.
\end{array}\right. \)

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

1) \(\displaystyle x=-a=-\frac{a}{3}-1;\)

\(\displaystyle \frac{2a}{3}=1;\; a=\frac{3}{2}.\)

2) \(\displaystyle x=-a=\frac{a-3}{5};\)

\(-5a=a-3.\)

3) \(\displaystyle -\frac{a}{3}-1=\frac{a-3}{5}; \)

\(\displaystyle \frac{-a-3}{3}=\frac{a-3}{5};\)

\(-5a-15=3a-9;\)

\(8a=-6;\)

\(\displaystyle a=-\frac{3}{4}.\)

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(a\left | x+1 \right |+\left ( 1-a \right )\left | x-1 \right |+2=0\) имеет ровно два различных корня.

Решение:

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

\(\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
a\cdot \left ( -x-1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1<  x\leq 1,\\
a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x > 1,\\
a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0.
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)

Мы сделали так, потому что при \(x\leq -1\) оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

\(\left | x+1 \right |=-x-1;\)

\(\left | x-1 \right |=1-x.\)

При \(-1 <  x\leq 1\) получим:

\(\left | x+1 \right |=x+1; \)

\(\left | x-1 \right |=1-x;\)

При \(x >1\) получим: \(\left | x+1 \right |=x+1, \; \left | x-1 \right |=x-1.\)

\(\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
-ax-a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1<  x\leq 1,\\
ax+a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x >  1,\\
ax+a+ \left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0;
\end{matrix}\right.
\end{array}\right. \; \Leftrightarrow \left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
-\not{ax}-a+\not{ax}-x-a+1+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1<  x\leq 1,\\
ax+\not{a}+ax-x-\not{a}+1+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x > 1,\\
\not{ax}+a +x-\not{ax}-1+a+2=0;
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow  \left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
3-x-2a=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1< x\leq 1,\\
2ax-x+3=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x >  1,\\
2a+x+1=0;
\end{matrix}\right.
\end{array}\right. \;
\Leftrightarrow \left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
a=\displaystyle \frac{3-x}{2},
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1< x\leq 1,\\
a=\displaystyle \frac{x-3}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2x},
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x >  1,\\
a=\displaystyle \frac{-x-1}{2}.
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)

Заметим, что если \(x =0,\) уравнение \(2ax-x+3=0\) не выполняется ни при каких \(a.\)

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию \(a(x),\) такую, что:

\(\left\{\begin{matrix}
a(x)=\displaystyle \frac{3-x}{2} \; при \; x\leq -1, \\a(x)=\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x} \; при  \; -1< x\leq 1,
\\a(x)=-\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \; при \;  x> 1.
\end{matrix}\right.\)

Для функции \(\displaystyle a=\frac{1}{2}\cdot \left ( 1-\frac{3}{x} \right )\) ось ординат – вертикальная асимптота.

\(x=-1\) – точка минимума, \(a(-1)=2;\)

\(x=1\) – точка максимума, \(a(1)=-1.\)

Уравнение имеет ровно два корня при \(a< -1\) или \(a > 2.\)

Ответ: \(\left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right ).\)

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

 

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. Затем мы разобьем координатную плоскость \((x; a)\) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x^2-a^2|+8=|x+a|+8|x-a|\) имеет ровно три различных решения.

Решение:

Поскольку \(|ab|=|a|\cdot|b|,\) получим:

\(|(x-a)(x+a)|+8=|x+a|+8|x-a|;\)

\(|x-a|\cdot|x+a|-8|x-a|-|x+a|+8=0;\)

\(|x-a|\cdot(|x+a|-8)-(|x+a|+8)=0;\)

\((|x-a|-1)\cdot(|x+a|+8)=0;\)

\( \left[
\begin{gathered}
|x-a|=1, \\
|x+a|=8;
\end{gathered}
\right. \;
\left[
\begin{gathered}
x-a=1, \\
x-a=-1, \\
x+a=8 ,\\
x+a=-8.
\end{gathered}
\right. \)

Мы хотим найти, при каких значениях параметра \(a\) эта совокупность уравнений имеет ровно 3 различных решения.

Выразим в каждом уравнении \(a\) через \(x\):

\(
\left[
\begin{gathered}
a=x-1 ,\\
a=x+1, \\
a=8-x, \\
a=-8-x.
\end{gathered}
\right.
\)

Изобразим графики этих уравнений в системе координат \((x; a).\)

Если прямая \(a=a_0\) пересекает совокупность прямых 3 раза, исходное уравнение имеет ровно 3 решения.

Это происходит, если прямая \(a=a_0\) проходит через одну из точек \(A, \; B, \; C\) или \(D\) на рисунке. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем значение параметра \(a\) для каждой из этих точек.

1) В точке \(A\) пересекаются прямые \(a=-x-8\) и \(a=x-1.\)

Для точки \(A:\)

\(
\begin{cases}
a=-x-8, \\
a=x-1;
\end{cases}\)

\(-x-8=x-1;\)

\( 2x=-7;\)

\(x=-3,5;\)

\( a=-4,5.\)

2) Точка \(B:\)

\(
\begin{cases}
a=-x-8, \\
a=x+1;
\end{cases}\)

\(-x-8=x+1;\)

\(2x=-9;\)

\(x=-4,5;\)

\(a=-3,5. \)

3) Точка \(C:\)

\(
\begin{cases}
a=x+1, \\
a=8-x;
\end{cases}\)

\(x+1=8-x;\)

\(x=3,5;\)

\(a=4,5. \)

4) Точка \(D:\)

\(
\begin{cases}
a=x-1, \\
a=8-x;
\end{cases}\)

\(x+1=8-x;\)

\(2x=9;\)

\(x=4,5;\)

\(a=3,5.\)

Мы нашли все случаи, когда исходное уравнение имеет ровно 3 решения.

Ответ: \(\pm3,5;\pm 4,5\)

5. (Резервный день) Найти все значения параметра \(a,\) при каждом из которых уравнение \(\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0\) имеет хотя бы два различных корня.

Решение:

\(\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0.\)

Замена: \(x^2=t, \; t \geq 0.\)

Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение

\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\) имеет хотя бы один корень \(t \geq 0.\)

Если \(t = 0,\) то \(x = 0,\) тогда \(\left | a-12 \right |=0, \; a=12.\)

Этот случай рассмотрим отдельно.

1) Случай \(t > 0,\) уравнение \(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\) должно иметь хотя бы один положительный корень.

Если \(\left | a-2 \right |=0, \; a=2,\) уравнение линейное, тогда

\(-4t+\left | 2-12 \right |=0;\)

\(4t=10, \; t=2,5 >  0; \; a=2\) – подходит.

Пусть \(\left | a-2 \right |\ne 0,\) уравнение квадратное.

\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0.\)

Сумма корней: \(\displaystyle t_1+t_2=\frac{2a}{\left | a-2 \right |}.\)

Произведение корней: \(\displaystyle t_1 t_2=\frac{\left | a-12 \right |}{\left | a-2 \right |} \geq 0.\)

Если \(t_1 >  0,\) то \(t_2 \geq 0 .\)

Тогда \(t_1+t_2 > 0, \) т. к. \(\displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} > 0, \; a>  0 .\)

При этом должно выполняться условие \(D \geq 0.\)

Получим:

\(\left\{\begin{matrix}
a \ne 2,\\
a > 0,\\
4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0.
\end{matrix}\right.\)

Решим третье неравенство системы:

\(a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0;\)

\(a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |.\)

Возведем обе части в квадрат:

\(a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;\)

\(a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;\)

\(\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0;\)

\(\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0;\)

\(\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0;\)

\(\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0.\)

\(\left[\begin{array}{c}
\displaystyle \frac{12}{7}\leq a\leq 3,
\\
a\geq 4, \end{array}\right. \) при этом \(a \ne 2, \; a >  0.\)

Объединив со случаем \(a = 2\), получим:

\(\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right ).\)

Вернемся к случаю, когда \(t=0\) – корень уравнения. Тогда \(\left | a-12 \right |=0, \; a=12.\) Получим уравнение:

\(10t^2-24t=0;\)

\(5t^2-6t=0;\)

\(t(5t-6)=0\) – уравнение имеет, кроме корня \(t=0,\) положительный корень \(\displaystyle t=\frac{6}{5},\) подходит \(a=12.\)

Ответ: \(\displaystyle a\in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [ 4;+\infty \right ).\)

Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.

Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.