Анна Малкова
Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.
1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).
О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно 2 решения?
Решение:
Уравнение равносильно системе:
Второе уравнение:
Вынесли общий множитель за скобку
Корни уравнения:
При этом :
Получим:
Так как и
при всех
исходное уравнение имеет корни
и
при всех
Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:
1) система
не имеет решений и
2) совпадение корней
Рассмотрим первый случай.
Неравенство — не имеет решений, если
Рассмотрим второй случай.
1) Корни и
совпадают, тогда
и
Так как исходное уравнение при
имеет один корень
2) Корни и
совпадают.
Тогда
Уравнение имеет корни и
3) Корни и
совпадают,
исходное уравнение имеет ровно два корня.
Получим:
Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.
На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.
2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).
Найти a, при которых имеет ровно 2 решения.
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат.
Найдем, каким значениям параметра соответствует ровно два значения
Построим в системе координат графики функций:
Мы находим такие при которых горизонтальная прямая
имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.
Видим, что в общем случае прямая пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.
Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.
1)
2)
3)
О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.
3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.
С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение:
Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:
Мы сделали так, потому что при оба модуля раскрываем с противоположным знаком:
При получим:
При получим:
Заметим, что если уравнение
не выполняется ни при каких
Решим графически полученную совокупность.
Рассмотрим функцию такую, что:
Для функции ось ординат – вертикальная асимптота.
– точка минимума,
– точка максимума,
Уравнение имеет ровно два корня при или
Ответ:
Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.
4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. Затем мы разобьем координатную плоскость на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.
При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно три различных решения
Решение:
Поскольку получим:
;
Мы хотим найти, при каких значениях параметра эта совокупность уравнений имеет ровно 3 различных решения.
Выразим в каждом уравнении через
:
Изобразим графики этих уравнений в системе координат
Если прямая пересекает совокупность прямых 3 раза, исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Это происходит, если прямая проходит через одну из точек
или
на рисунке. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем значение параметра
для каждой из этих точек.
1) В точке пересекаются прямые
и
Для точки
2) Точка
3) Точка
4) Точка
Мы нашли все случаи, когда исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ответ:
5. (Резервный день) Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы два различных корня.
Решение:
Замена:
Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение
имеет хотя бы один корень
Если t = 0, то x = 0, тогда
Этот случай рассмотрим отдельно.
1) Случай уравнение
должно иметь хотя бы один положительный корень.
Если уравнение линейное, тогда
– подходит.
Пусть уравнение квадратное.
сумма корней:
произведение корней:
Если то
Тогда т.к.
При этом должно выполняться условие
Получим:
Решим третье неравенство системы:
возведем обе части в квадрат:
при этом
Объединив со случаем a = 2, получим:
Вернемся к случаю, когда – корень уравнения. Тогда
Получим уравнение:
– уравнение имеет, кроме корня
положительный корень
подходит
Ответ:
Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.
Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 07.06.2023