Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Анна Малкова

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

$\left| x^2-a^2 \right|=|x+a|\cdot \sqrt{4x+a^2-8a}$

имеет ровно 2 решения?

Решение:

Уравнение равносильно системе:

$\left\{\begin{matrix}4x+a^2-8a\geq 0 \\(x^2-a^2)^2=(x+a)^2(4x+a^2-8a)\end{matrix}\right.$

Второе уравнение:

$(x-a)^2(x+a)^2-(x+a)^2(4x+a^2-8a)=0$

$(x+a)^2\left ((x-a)^2-(4x+a^2-8a) \right )=0$

Вынесли общий множитель за скобку

$(x+a)^2(\underline{x}^2-\underline{2ax}+\not a^2-\underline{4x}-\not a^2+8a)=0$

$(x+a)^2(x^2-2ax-4x+8a)=0$

$(x+a)^2(x(x-2a)-4(x-2a))=0$

$(x+a)^2(x-4)(x-2a)=0$

Корни уравнения:

$\left[\begin{array}{c}x=-a\\x=4\\x=2a\end{array}\right.$

При этом :

$4x+a^2-8a\geq 0$

Получим:

$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x=-a \\a^2-12a\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=4 \\(a-4)^2\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=2a \\a^2\geq 0\end{matrix}\right.\end{array}\right.$

Так как $a^2\geq 0$ и $(a-4)^2\geq 0$ при всех $a,$ исходное уравнение имеет корни $x=4$ и $x=2a$ при всех $a.$ Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

1) система $\left\{\begin{matrix}x=-a \\a^2-12a\geq 0\end{matrix}\right.$

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство $a^2 -12a \geq 0$ — не имеет решений, если $0 \textless a \textless 12.$

Рассмотрим второй случай.

1) Корни $x=4$ и $x=2a$ совпадают, тогда $2a=4$ и $a=2.$

Так как $0\textless 2\textless 12,$ исходное уравнение при $a=2$ имеет один корень

2) Корни $x=-a$ и $x=2a$ совпадают.

Тогда $a=0.$

Уравнение имеет корни $x=4$ и $x=0.$

3) Корни $x=-a$ и $x=4$ совпадают, $a=-4,$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

Получим:

$a \in \left\{ -4 \right\} \cup \left [ 0;2 \right ) \cup \left ( 2; 12 \right ).$

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых $\left | x^2 - a^2 \right | = \left | x+ a \right | \cdot (4x + 3)$ имеет ровно 2 решения.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат.

$\left ( x-a \right )^2\left ( x+a \right )^2=\left ( x+a \right )^2\left (4x+3 \right )^2$

$\left ( x+a \right )^2\left ( \left ( x-a \right )^2-\left ( 4x+3 \right )^2 \right )=0$

$\left ( x+a^2 \right )\left ( x-a-4x-3 \right )\left ( x-a+4x+3 \right )=0$

$\left ( x+a\right )^2\left (-3x-a-3 \right )\left (5x-a+3 \right )=0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left [\begin{array}{c}x=-a\\x=-\frac{a+3}{3}\\x=\frac{a-3}{5}\end{array}\right.;$

Найдем, каким значениям параметра $a$ соответствует ровно два значения $x.$

Построим в системе координат $(x; \: a)$ графики функций: $\displaystyle x=-a; \: x=-\frac{a}{3}-1; \: x=\frac{a-3}{5}$

Мы находим такие $a_0,$ при которых горизонтальная прямая $a= a_0$ имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая $a= a_0$ пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая $a= a_0$ проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

$\displaystyle \left [\begin{array}{c}x=-a\\x=-\frac{a}{3}-1\\x=\frac{a-3}{5}\end{array}\right.;$

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

1) $\displaystyle x=-a=-\frac{a}{3}-1$

$\displaystyle \frac{2a}{3}=1;\; a=\frac{3}{2}$

2) $\displaystyle x=-a=\frac{a-3}{5};$

$-5a=a-3;$

3) $\displaystyle -\frac{a}{3}-1=\frac{a-3}{5};$

$\displaystyle \frac{-a-3}{3}=\frac{a-3}{5};$

$-5a-15=3a-9$

$8a=-6$

$\displaystyle a=-\frac{3}{4}$

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a\left | x+1 \right |+\left ( 1-a \right )\left | x-1 \right |+2=0$

имеет ровно два различных корня.

Решение:

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

$\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\a\cdot \left ( -x-1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.$

Мы сделали так, потому что при $x\leq -1$ оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

$\left | x+1 \right |=-x-1;$

$\left | x-1 \right |=1-x;$

При $-1 \textless x\leq 1$ получим:

$\left | x+1 \right |=x+1;$

$\left | x-1 \right |=1-x;$

При $x \textgreater 1$ получим: $\left | x+1 \right |=x+1, \; \left | x-1 \right |=x-1.$

$\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\-ax-a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\ax+a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\ax+a+ \left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\-\not{ax}-a+\not{ax}-x-a+1+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\ax+\not{a}+ax-x-\not{a}+1+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\\not{ax}+a +x-\not{ax}-1+a+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\3-x-2a=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\2ax-x+3=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\2a+x+1=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\a=\frac{3-x}{2}\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\a=\frac{x-3}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2x}\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\a=\frac{-x-1}{2}\end{matrix}\right.\end{array}\right.$

Заметим, что если $x =0,$ уравнение $2ax-x+3=0$ не выполняется ни при каких $a.$

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию $a(x),$ такую, что:

Для функции $\displaystyle a=\frac{1}{2}\cdot \left ( 1-\frac{3}{x} \right )$ ось ординат – вертикальная асимптота.

$x=-1$ – точка минимума, $a(-1)=2;$

$x=1$ – точка максимума, $a(1)=-1.$

Уравнение имеет ровно два корня при $a\textless -1$ или $a \textgreater 2.$

Ответ: $\left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )$

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. Затем мы разобьем координатную плоскость $(x; a)$ на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра $a$ уравнение

$|x^2-a^2|+8=|x+a|+8|x-a|$ имеет ровно три различных решения

Решение:

Поскольку $|ab|=|a|\cdot|b|,$ получим:

$|(x-a)(x+a)|+8=|x+a|+8|x-a|, \\ \\ |x-a|\cdot|x+a|-8|x-a|-|x+a|+8=0; \\ \\ |x-a|\cdot(|x+a|-8)-(|x+a|+8)=0; \\ \\ (|x-a|-1)\cdot(|x+a|+8)=0;$

$\left[\begin{gathered}|x-a|=1 \\|x+a|=8\end{gathered}\right.$ ; $\left[\begin{gathered}x-a=1 \\x-a=-1 \\x+a=8 \\x+a=-8\end{gathered}\right.$

Мы хотим найти, при каких значениях параметра $a$ эта совокупность уравнений имеет ровно 3 различных решения.

Выразим в каждом уравнении $a$ через $x$ :

$\left[\begin{gathered}a=x-1 \\a=x+1 \\a=8-x \\a=-8-x\end{gathered}\right.$

Изобразим графики этих уравнений в системе координат $(x;a).$

Если прямая $a=a_0$ пересекает совокупность прямых 3 раза, исходное уравнение имеет ровно 3 решения.

Это происходит, если прямая $a=a_0$ проходит через одну из точек $A, B, C$ или $D$ на рисунке. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем значение параметра $a$ для каждой из этих точек.

1) В точке $A$ пересекаются прямые $a=-x-8$ и $a=x-1.$

Для точки $A:$

$\begin{cases} a=-x-8 \\ a=x-1\end{cases} \\ \\ -x-8=x-1; \\ \\ 2x=-7, x=-3,5; \\ \\ a=-4,5.$

2) Точка $B:$

$\begin{cases} a=-x-8 \\ a=x+1\end{cases} \\ \\ -x-8=x+1; \\ \\ 2x=-9, x=-4,5; \\ \\ a=-3,5.$

3) Точка $C:$

$\begin{cases} a=x+1 \\ a=8-x\end{cases} \\ \\ x+1=8-x; \\ \\ x=3,5; \\ \\ a=4,5.$

4) Точка $D:$

$\begin{cases} a=x-1 \\ a=8-x\end{cases} \\ \\ x+1=8-x; \\ \\ 2x=9, x=4,5 \\ \\ a=3,5.$

Мы нашли все случаи, когда исходное уравнение имеет ровно 3 решения.

Ответ: $\pm3,5;\pm 4,5$

5. (Резервный день) Найти все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0$

имеет хотя бы два различных корня.

Решение:

$\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0$

Замена: $x^2=t, \; t \geq 0.$

Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$

имеет хотя бы один корень $t \geq 0.$

Если t = 0, то x = 0, тогда $\left | a-12 \right |=0, \;a=12.$

Этот случай рассмотрим отдельно.

1) Случай $t \textgreater 0,$ уравнение

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$ должно иметь хотя бы один положительный корень.

Если $\left | a-2 \right |=0, \; a=2,$ уравнение линейное, тогда

$-4t+\left | 2-12 \right |=0$

$4t=10, \; t=2,5 \textgreater 0; \; a=2$ – подходит.

Пусть $\left | a-2 \right |\ne 0,$ уравнение квадратное.

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$

сумма корней: $\displaystyle t_1+t_2=\frac{2a}{\left | a-2 \right |}$

произведение корней: $\displaystyle t_1 t_2=\frac{\left | a-12 \right |}{\left | a-2 \right |} \geq 0$

Если $t_1 \textgreater 0,$ то $t_2 \geq 0 .$

Тогда $t_1+t_2 \textgreater 0,$ т.к. $\displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} \textgreater 0, \; a\textgreater 0 .$

При этом должно выполняться условие $D \geq 0.$

Получим:

$\left\{\begin{matrix}a \ne 2\\a \textgreater 0\\4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0\end{matrix}\right.$

Решим третье неравенство системы:

$a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0$

$a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |;$ возведем обе части в квадрат:

$a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;$

$a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;$

$\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0$

$\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0$

$\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0$

$\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0$

$\left[\begin{array}{c}\frac{12}{7}\leq a\leq 3\\a\geq 4\end{array}\right.,$ при этом $a \ne 2,$ $a \textgreater 0.$

Объединив со случаем a = 2, получим:

$\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right )$

Вернемся к случаю, когда $t=0$ – корень уравнения. Тогда $\left | a-12 \right |=0,$ $a=12.$ Получим уравнение:

$10t^2-24t=0,$

$5t^2-6t=0$

$t(5t-6)=0$ – уравнение имеет, кроме корня $t=0,$ положительный корень $\displaystyle t=\frac{6}{5},$ подходит $a=12.$

Ответ: $\displaystyle a\in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [ 4;+\infty \right )$

Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.

Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Это полезно