previous arrow
next arrow
Slider

Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Анна Малкова

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

\left| x^2-a^2 \right|=|x+a|\cdot \sqrt{4x+a^2-8a}

имеет ровно 2 решения?

Решение:

Уравнение равносильно системе:

\left\{\begin{matrix}4x+a^2-8a\geq 0 \\(x^2-a^2)^2=(x+a)^2(4x+a^2-8a)\end{matrix}\right.

Второе уравнение:

(x-a)^2(x+a)^2-(x+a)^2(4x+a^2-8a)=0

(x+a)^2\left ((x-a)^2-(4x+a^2-8a) \right )=0

Вынесли общий множитель за скобку

(x+a)^2(\underline{x}^2-\underline{2ax}+\not a^2-\underline{4x}-\not a^2+8a)=0

(x+a)^2(x^2-2ax-4x+8a)=0

(x+a)^2(x(x-2a)-4(x-2a))=0

(x+a)^2(x-4)(x-2a)=0

Корни уравнения:

\left[\begin{array}{c}x=-a\\x=4\\x=2a\end{array}\right.

При этом :

4x+a^2-8a\geq 0

Получим:

\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x=-a \\a^2-12a\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=4 \\(a-4)^2\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=2a \\a^2\geq 0\end{matrix}\right.\end{array}\right.

Так как a^2\geq 0 и (a-4)^2\geq 0 при всех a, исходное уравнение имеет корни x=4 и x=2a при всех a. Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

1) система \left\{\begin{matrix}x=-a \\a^2-12a\geq 0\end{matrix}\right.

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство a^2 -12a \geq 0 — не имеет решений, если 0 \textless a \textless 12.

Рассмотрим второй случай.

1) Корни x=4 и x=2a совпадают, тогда 2a=4 и a=2.

Так как 0\textless 2\textless 12, исходное уравнение при a=2 имеет один корень

2) Корни x=-a и x=2a совпадают.

Тогда a=0.

Уравнение имеет корни x=4 и x=0.

3) Корни x=-a и x=4 совпадают, a=-4, исходное уравнение имеет ровно два корня.

Получим:

a \in \left\{ -4 \right\} \cup \left [ 0;2 \right ) \cup \left ( 2; 12 \right ).

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых \left | x^2 - a^2 \right | = \left | x+ a \right | \cdot (4x + 3) имеет ровно 2 решения.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат.

\left ( x-a \right )^2\left ( x+a \right )^2=\left ( x+a \right )^2\left (4x+3 \right )^2

\left ( x+a \right )^2\left ( \left ( x-a \right )^2-\left ( 4x+3 \right )^2 \right )=0

\left ( x+a^2 \right )\left ( x-a-4x-3 \right )\left ( x-a+4x+3 \right )=0

\left ( x+a\right )^2\left (-3x-a-3 \right )\left (5x-a+3 \right )=0 \Leftrightarrow

\displaystyle \left [\begin{array}{c}x=-a\\x=-\frac{a+3}{3}\\x=\frac{a-3}{5}\end{array}\right.;

Найдем, каким значениям параметра a соответствует ровно два значения x.

Построим в системе координат (x; \: a) графики функций: \displaystyle x=-a; \: x=-\frac{a}{3}-1; \: x=\frac{a-3}{5}

Мы находим такие a_0, при которых горизонтальная прямая a= a_0 имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая a= a_0 пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая a= a_0 проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

\displaystyle \left [\begin{array}{c}x=-a\\x=-\frac{a}{3}-1\\x=\frac{a-3}{5}\end{array}\right.;

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

1) \displaystyle x=-a=-\frac{a}{3}-1

\displaystyle \frac{2a}{3}=1;\; a=\frac{3}{2}

2) \displaystyle x=-a=\frac{a-3}{5};

-5a=a-3;

3) \displaystyle -\frac{a}{3}-1=\frac{a-3}{5};

\displaystyle \frac{-a-3}{3}=\frac{a-3}{5};

-5a-15=3a-9

8a=-6

\displaystyle a=-\frac{3}{4}

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

a\left | x+1 \right |+\left ( 1-a \right )\left | x-1 \right |+2=0

имеет ровно два различных корня.

Решение:

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\a\cdot \left ( -x-1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.

Мы сделали так, потому что при x\leq -1 оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

\left | x+1 \right |=-x-1;

\left | x-1 \right |=1-x;

При -1 \textless x\leq 1 получим:

\left | x+1 \right |=x+1;

\left | x-1 \right |=1-x;

При x \textgreater 1 получим: \left | x+1 \right |=x+1, \; \left | x-1 \right |=x-1.

\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\-ax-a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\ax+a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\ax+a+ \left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow

\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\-\not{ax}-a+\not{ax}-x-a+1+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\ax+\not{a}+ax-x-\not{a}+1+2=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\\not{ax}+a +x-\not{ax}-1+a+2=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow

\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\3-x-2a=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\2ax-x+3=0\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\2a+x+1=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\a=\frac{3-x}{2}\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}-1\textless x\leq 1\\a=\frac{x-3}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2x}\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x \textgreater 1\\a=\frac{-x-1}{2}\end{matrix}\right.\end{array}\right.

Заметим, что если x =0, уравнение 2ax-x+3=0 не выполняется ни при каких a.

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию a(x), такую, что:

Для функции \displaystyle a=\frac{1}{2}\cdot \left ( 1-\frac{3}{x} \right ) ось ординат – вертикальная асимптота.

x=-1 – точка минимума, a(-1)=2;

x=1 – точка максимума, a(1)=-1.

Уравнение имеет ровно два корня при a\textless -1 или a \textgreater 2.

Ответ: \left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. А потом мы разобьем координатную плоскость (х; а) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра a уравнение \left | x^2-a^2 \right |+8=\left | x+a \right |+8\left | x-a \right | имеет ровно три различных решения

Решение:

\left | x^2-a^2 \right |-\left | x+a \right |=8\left | x-a \right |-8

1) Пусть x-a\geq 0, \; x+a\geq 0.

Тогда x^2 - a^2\geq 0. Получим:

\left\{\begin{matrix}x-a\geq 0\\x+a\geq 0\\\left ( x-a \right )\left ( x+a \right )-\left ( x+a \right )=8\left ( x-a \right )-8\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}x-a\geq 0\\x+a\geq 0\\\left ( x+a-8 \right )\left ( x-a-1 \right )=0\end{matrix}\right.

2) Пусть x-a \textless 0, \; x+a\textless 0, тогда x^2-a^2=(x-a)(x+a)\textgreater 0. Получим:

\left ( x-a \right )\left ( x+a \right )+\left ( x+a \right )=-8\left ( x-a \right )-8

\left ( x+a \right )\left ( x-a+1 \right )+8\left ( x-a+1 \right )=0

\left\{\begin{matrix}\left ( x+a+8 \right )\left ( x-a+1 \right )=0\\x-a\textless 0\\x+a\textless 0\end{matrix}\right.

3) Пусть \begin{matrix}x-a\geq 0\\x+a\leq 0\end{matrix}

Тогда x^2-a^2=\left ( x-a \right )\left ( x+a \right )\textless 0.

Получим:

-\left ( x-a \right )\left ( x+a \right )+\left ( x+a \right )=8\left ( x-a \right )-8

-\left ( x+a \right )\left ( x-a-1\right )=8\left ( x-a-1 \right )

\left\{\begin{matrix}\left ( x-a-1 \right )\left ( x+a+8 \right )=0\\x-a\textgreater 0 \\x+a \textless 0\end{matrix}\right.

4) Пусть \left\{\begin{matrix}x-a\textless 0\\x+a \textgreater 0\end{matrix}\right., тогда \left ( x-a \right )\left ( x+a \right )\textless 0,

получим:

-\left ( x-a \right )\left ( x+a \right )-\left ( x+a \right )=-8\left ( x-a \right )-8

\left ( x-a \right )\left ( x+a \right )+\left ( x+a \right )=8\left ( x-a \right )+8

\left ( x+a \right )\left ( x-a+1 \right )=8\left ( x-a+1 \right )

\left ( x+a-8 \right )\left ( x-a+1 \right )=0

Объединим случаи:

\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{matrix}x-a\geq 0\\x+a\geq 0\\\left[\begin{array}{c}a=8-x\\a=x-1\end{array}\right.\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x-a\textless 0\\x+a\textless 0\\\left[\begin{array}{c}a=-8-x\\a=x+1\end{array}\right.\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x-a\geq 0\\x+a\leq 0\\\left[\begin{array}{c}a=x-1\\a=-x-8\end{array}\right.\end{matrix}\right.\\ \\\left\{\begin{matrix}x-a\textless 0\\x+a\textgreater 0\\\left[\begin{array}{c}a=8-x\\a=x+1\end{array}\right.\end{matrix}\right.\\\end{array}\right.

Изобразим полученную совокупность условий в координатах (x; a).

Получим области I - IV, соответствующие

\left\{\begin{matrix}a\leq x\\a\geq -x\\\left[\begin{array}{c}a=8-x\\a=x-1\end{array}\right.\end{matrix}\right. - область I

\left\{\begin{matrix}a\textgreater x\\a\textless -x\\\left[\begin{array}{c}a=-8-x\\a=x+1\end{array}\right.\end{matrix}\right. - область II

\left\{\begin{matrix}a\leq x\\a\leq -x\\\left[\begin{array}{c}a=x-1\\a=-x-8\end{array}\right.\end{matrix}\right. - область III

\left\{\begin{matrix}a\textgreater x\\a\textgreater -x\\\left[\begin{array}{c}a=8-x\\a=x+1\end{array}\right.\end{matrix}\right. - область IV

Получили график уравнения.

Уравнение имеет ровно 3 решения, если значение a соответствует одной из точек пересечения прямых: точка A, B, С или D. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения.

Точка A:

\left\{\begin{matrix}a=-x-8\\a=x-1\end{matrix}\right.;

-x-8=x-1

2x=-7, \; x=-3,5

a=-4,5

Точка B:

\left\{\begin{matrix}a=-x-8\\a=x+1\end{matrix}\right.

-x-8=x+1

2x=-9,\; x=-4,5

a=-3,5

Точка C:

\left\{\begin{matrix}a=x+1\\a=8-x\end{matrix}\right.;

x+1=8-x,\: x=3,5

a=4,5

Точка D:

\left\{\begin{matrix}a=x-1\\a=8-x\end{matrix}\right.

x-1=8-x

2x=9,\; x=4,5

a=3,5

Ответ: \pm 3,5; \; \pm 4,5 .

5. (Резервный день) Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0

имеет хотя бы два различных корня.

Решение:

\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0

Замена: x^2=t, \; t \geq 0.

Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение

\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0

имеет хотя бы один корень t \geq 0.

Если t = 0, то x = 0, тогда \left | a-12 \right |=0, \;a=12.

Этот случай рассмотрим отдельно.

1) Случай t \textgreater 0, уравнение

\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0 должно иметь хотя бы один положительный корень.

Если \left | a-2 \right |=0, \; a=2, уравнение линейное, тогда

-4t+\left | 2-12 \right |=0

4t=10, \; t=2,5 \textgreater 0; \; a=2 – подходит.

Пусть \left | a-2 \right |\ne 0, уравнение квадратное.

\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0

сумма корней: \displaystyle t_1+t_2=\frac{2a}{\left | a-2 \right |}

произведение корней: \displaystyle t_1 t_2=\frac{\left | a-12 \right |}{\left | a-2 \right |} \geq 0

Если t_1 \textgreater 0, то t_2 \geq 0 .

Тогда t_1+t_2 \textgreater 0, т.к. \displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} \textgreater 0, \; a\textgreater 0 .

При этом должно выполняться условие D \geq 0.

Получим:

\left\{\begin{matrix}a \ne 2\\a \textgreater 0\\4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0\end{matrix}\right.

Решим третье неравенство системы:

a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0

a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |; возведем обе части в квадрат:

a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;

a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;

\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0

\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0

\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0

\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0

\left[\begin{array}{c}\frac{12}{7}\leq a\leq 3\\a\geq 4\end{array}\right., при этом a \ne 2, a \textgreater 0.

Объединив со случаем a = 2, получим:

\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right )

Вернемся к случаю, когда t=0 – корень уравнения. Тогда \left | a-12 \right |=0, a=12. Получим уравнение:

10t^2-24t=0,

5t^2-6t=0

t(5t-6)=0 – уравнение имеет, кроме корня t=0, положительный корень \displaystyle t=\frac{6}{5}, подходит a=12.

Ответ: \displaystyle a\in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [ 4;+\infty \right )

Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.

Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.