Анна Малкова
Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.
1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).
О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left| x^2-a^2 \right|=|x+a|\cdot \sqrt{4x+a^2-8a}\) имеет ровно 2 решения?
Решение:
Уравнение равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
4x+a^2-8a\geq 0, \\
(x^2-a^2)^2=(x+a)^2(4x+a^2-8a).
\end{matrix}\right.\)
Второе уравнение:
\((x-a)^2(x+a)^2-(x+a)^2(4x+a^2-8a)=0;\)
\((x+a)^2\left ((x-a)^2-(4x+a^2-8a) \right )=0.\)
Вынесли общий множитель за скобку:
\((x+a)^2(\underline{x}^2-\underline{2ax}+\not a^2-\underline{4x}-\not a^2+8a)=0;\)
\((x+a)^2(x^2-2ax-4x+8a)=0;\)
\((x+a)^2(x(x-2a)-4(x-2a))=0;\)
\((x+a)^2(x-4)(x-2a)=0.\)
Корни уравнения:
\(\left[\begin{array}{c}
x=-a,\\
x=4,\\
x=2a.
\end{array}
\right.\)
При этом: \(4x+a^2-8a\geq 0.\)
Получим:
\(\left[\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x=-a, \\
a^2-12a\geq 0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=4 ,\\
(a-4)^2\geq 0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=2a, \\
a^2\geq 0.
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)
Так как \(a^2\geq 0\) и \((a-4)^2\geq 0\) при всех \(a,\) исходное уравнение имеет корни \(x=4\) и \(x=2a\) при всех \(a.\) Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:
1) система \(\left\{\begin{matrix}
x=-a, \\
a^2-12a\geq 0
\end{matrix}\right. \; \) не имеет решений;
2) совпадение корней.
Рассмотрим первый случай.
Неравенство \(a^2 -12a \geq 0\) — не имеет решений, если \(0 < a < 12.\)
Рассмотрим второй случай.
1) Корни \(x=4\) и \(x=2a\) совпадают, тогда \(2a=4\) и \(a=2.\)
Так как \(0< 2< 12,\) исходное уравнение при \(a=2\) имеет один корень.
2) Корни \(x=-a\) и \(x=2a\) совпадают.
Тогда \(a=0.\)
Уравнение имеет корни \(x=4\) и \(x=0.\)
3) Корни \(x=-a\) и \(x=4\) совпадают, \(a=-4,\) исходное уравнение имеет ровно два корня.
Получим: \(a \in \left\{ -4 \right\} \cup \left [ 0;2 \right ) \cup \left ( 2; 12 \right ).\)
Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.
На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.
2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат \((a; x)\).
Найти \(a\), при которых \(\left | x^2 - a^2 \right | = \left | x+ a \right | \cdot (4x + 3)\) имеет ровно 2 решения.
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат.
\(\left ( x-a \right )^2\left ( x+a \right )^2=\left ( x+a \right )^2\left (4x+3 \right )^2;\)
\(\left ( x+a \right )^2\left ( \left ( x-a \right )^2-\left ( 4x+3 \right )^2 \right )=0;\)
\(\left ( x+a^2 \right )\left ( x-a-4x-3 \right )\left ( x-a+4x+3 \right )=0;\)
\(\left ( x+a\right )^2\left (-3x-a-3 \right )\left (5x-a+3 \right )=0 \Leftrightarrow \displaystyle \left [\begin{array}{c}
x=-a,\\
x=-\displaystyle \frac{a+3}{3},\\
x=\displaystyle \frac{a-3}{5}.
\end{array}\right. \)
Найдем, каким значениям параметра \(a\) соответствует ровно два значения \(x.\)
Построим в системе координат \((x; \: a)\) графики функций: \(\displaystyle x=-a; \: x=-\frac{a}{3}-1; \: x=\frac{a-3}{5}.\)
Мы находим такие \(a_0,\) при которых горизонтальная прямая \(a= a_0\) имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.
Видим, что в общем случае прямая \(a= a_0\) пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая \(a= a_0\) проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.
\(\displaystyle \left [\begin{array}{c}
x=-a,\\
x=-\displaystyle\frac{a}{3}-1,\\
x=\displaystyle \frac{a-3}{5}.
\end{array}\right. \)
Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.
1) \(\displaystyle x=-a=-\frac{a}{3}-1;\)
\(\displaystyle \frac{2a}{3}=1;\; a=\frac{3}{2}.\)
2) \(\displaystyle x=-a=\frac{a-3}{5};\)
\(-5a=a-3.\)
3) \(\displaystyle -\frac{a}{3}-1=\frac{a-3}{5}; \)
\(\displaystyle \frac{-a-3}{3}=\frac{a-3}{5};\)
\(-5a-15=3a-9;\)
\(8a=-6;\)
\(\displaystyle a=-\frac{3}{4}.\)
О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.
3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.
С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(a\left | x+1 \right |+\left ( 1-a \right )\left | x-1 \right |+2=0\) имеет ровно два различных корня.
Решение:
Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:
\(\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
a\cdot \left ( -x-1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1< x\leq 1,\\
a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( 1-x \right )+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x > 1,\\
a\left ( x+1 \right )+\left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0.
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)
Мы сделали так, потому что при \(x\leq -1\) оба модуля раскрываем с противоположным знаком:
\(\left | x+1 \right |=-x-1;\)
\(\left | x-1 \right |=1-x.\)
При \(-1 < x\leq 1\) получим:
\(\left | x+1 \right |=x+1; \)
\(\left | x-1 \right |=1-x;\)
При \(x >1\) получим: \(\left | x+1 \right |=x+1, \; \left | x-1 \right |=x-1.\)
\(\left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
-ax-a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1< x\leq 1,\\
ax+a+ \left ( a-1 \right )\left ( x-1 \right )+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x > 1,\\
ax+a+ \left ( 1-a \right )\left ( x-1 \right )+2=0;
\end{matrix}\right.
\end{array}\right. \; \Leftrightarrow \left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
-\not{ax}-a+\not{ax}-x-a+1+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1< x\leq 1,\\
ax+\not{a}+ax-x-\not{a}+1+2=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x > 1,\\
\not{ax}+a +x-\not{ax}-1+a+2=0;
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
3-x-2a=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1< x\leq 1,\\
2ax-x+3=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x > 1,\\
2a+x+1=0;
\end{matrix}\right.
\end{array}\right. \;
\Leftrightarrow \left [\begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
x\leq -1,\\
a=\displaystyle \frac{3-x}{2},
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
-1< x\leq 1,\\
a=\displaystyle \frac{x-3}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2x},
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x > 1,\\
a=\displaystyle \frac{-x-1}{2}.
\end{matrix}\right.
\end{array}\right.\)
Заметим, что если \(x =0,\) уравнение \(2ax-x+3=0\) не выполняется ни при каких \(a.\)
Решим графически полученную совокупность.
Рассмотрим функцию \(a(x),\) такую, что:
\(\left\{\begin{matrix}
a(x)=\displaystyle \frac{3-x}{2} \; при \; x\leq -1, \\a(x)=\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x} \; при \; -1< x\leq 1,
\\a(x)=-\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \; при \; x> 1.
\end{matrix}\right.\)
Для функции \(\displaystyle a=\frac{1}{2}\cdot \left ( 1-\frac{3}{x} \right )\) ось ординат – вертикальная асимптота.
\(x=-1\) – точка минимума, \(a(-1)=2;\)
\(x=1\) – точка максимума, \(a(1)=-1.\)
Уравнение имеет ровно два корня при \(a< -1\) или \(a > 2.\)
Ответ: \(\left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right ).\)
Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.
4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. Затем мы разобьем координатную плоскость \((x; a)\) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x^2-a^2|+8=|x+a|+8|x-a|\) имеет ровно три различных решения.
Решение:
Поскольку \(|ab|=|a|\cdot|b|,\) получим:
\(|(x-a)(x+a)|+8=|x+a|+8|x-a|;\)
\(|x-a|\cdot|x+a|-8|x-a|-|x+a|+8=0;\)
\(|x-a|\cdot(|x+a|-8)-(|x+a|+8)=0;\)
\((|x-a|-1)\cdot(|x+a|+8)=0;\)
\( \left[
\begin{gathered}
|x-a|=1, \\
|x+a|=8;
\end{gathered}
\right. \;
\left[
\begin{gathered}
x-a=1, \\
x-a=-1, \\
x+a=8 ,\\
x+a=-8.
\end{gathered}
\right. \)
Мы хотим найти, при каких значениях параметра \(a\) эта совокупность уравнений имеет ровно 3 различных решения.
Выразим в каждом уравнении \(a\) через \(x\):
\(
\left[
\begin{gathered}
a=x-1 ,\\
a=x+1, \\
a=8-x, \\
a=-8-x.
\end{gathered}
\right.
\)
Изобразим графики этих уравнений в системе координат \((x; a).\)
Если прямая \(a=a_0\) пересекает совокупность прямых 3 раза, исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Это происходит, если прямая \(a=a_0\) проходит через одну из точек \(A, \; B, \; C\) или \(D\) на рисунке. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем значение параметра \(a\) для каждой из этих точек.
1) В точке \(A\) пересекаются прямые \(a=-x-8\) и \(a=x-1.\)
Для точки \(A:\)
\(
\begin{cases}
a=-x-8, \\
a=x-1;
\end{cases}\)
\(-x-8=x-1;\)
\( 2x=-7;\)
\(x=-3,5;\)
\( a=-4,5.\)
2) Точка \(B:\)
\(
\begin{cases}
a=-x-8, \\
a=x+1;
\end{cases}\)
\(-x-8=x+1;\)
\(2x=-9;\)
\(x=-4,5;\)
\(a=-3,5. \)
3) Точка \(C:\)
\(
\begin{cases}
a=x+1, \\
a=8-x;
\end{cases}\)
\(x+1=8-x;\)
\(x=3,5;\)
\(a=4,5. \)
4) Точка \(D:\)
\(
\begin{cases}
a=x-1, \\
a=8-x;
\end{cases}\)
\(x+1=8-x;\)
\(2x=9;\)
\(x=4,5;\)
\(a=3,5.\)
Мы нашли все случаи, когда исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ответ: \(\pm3,5;\pm 4,5\)
5. (Резервный день) Найти все значения параметра \(a,\) при каждом из которых уравнение \(\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0\) имеет хотя бы два различных корня.
Решение:
\(\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0.\)
Замена: \(x^2=t, \; t \geq 0.\)
Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение
\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\) имеет хотя бы один корень \(t \geq 0.\)
Если \(t = 0,\) то \(x = 0,\) тогда \(\left | a-12 \right |=0, \; a=12.\)
Этот случай рассмотрим отдельно.
1) Случай \(t > 0,\) уравнение \(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\) должно иметь хотя бы один положительный корень.
Если \(\left | a-2 \right |=0, \; a=2,\) уравнение линейное, тогда
\(-4t+\left | 2-12 \right |=0;\)
\(4t=10, \; t=2,5 > 0; \; a=2\) – подходит.
Пусть \(\left | a-2 \right |\ne 0,\) уравнение квадратное.
\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0.\)
Сумма корней: \(\displaystyle t_1+t_2=\frac{2a}{\left | a-2 \right |}.\)
Произведение корней: \(\displaystyle t_1 t_2=\frac{\left | a-12 \right |}{\left | a-2 \right |} \geq 0.\)
Если \(t_1 > 0,\) то \(t_2 \geq 0 .\)
Тогда \(t_1+t_2 > 0, \) т. к. \(\displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} > 0, \; a> 0 .\)
При этом должно выполняться условие \(D \geq 0.\)
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}
a \ne 2,\\
a > 0,\\
4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0.
\end{matrix}\right.\)
Решим третье неравенство системы:
\(a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0;\)
\(a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |.\)
Возведем обе части в квадрат:
\(a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;\)
\(a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;\)
\(\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0;\)
\(\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0;\)
\(\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0;\)
\(\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0.\)
\(\left[\begin{array}{c}
\displaystyle \frac{12}{7}\leq a\leq 3,
\\
a\geq 4, \end{array}\right. \) при этом \(a \ne 2, \; a > 0.\)
Объединив со случаем \(a = 2\), получим:
\(\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right ).\)
Вернемся к случаю, когда \(t=0\) – корень уравнения. Тогда \(\left | a-12 \right |=0, \; a=12.\) Получим уравнение:
\(10t^2-24t=0;\)
\(5t^2-6t=0;\)
\(t(5t-6)=0\) – уравнение имеет, кроме корня \(t=0,\) положительный корень \(\displaystyle t=\frac{6}{5},\) подходит \(a=12.\)
Ответ: \(\displaystyle a\in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [ 4;+\infty \right ).\)
Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.
Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.
