Квадратичная функция. Парабола. Свойства и график.
Мы знаем, что такое линейная функция. Конечно, функции бывают не только линейные. В этой теме мы изучаем квадратичную функцию. В ее формулу входит
в квадрате, ее график - парабола.
Мы помним, как выглядит парабола
. В седьмом классе мы рисовали таблицу и строили график
по точкам.
Вот такая была таблица. Мы берем
из первой строчки, возводим его в квадрат и записываем во вторую строчку значение
.
 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
 |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
Наносим точки с координатами (
) на координатную плоскость. Это точки
(-3; 9), (-2; 4); (-1; 1); (0; 0), (1; 1); (2; 4); (3; 9).
И соединяем эти точки плавной кривой. Получается график, который называется квадратичная парабола.

Посмотрим внимательно на этот график и перечислим его основные свойства.
1) Функция
определена для всех
, от минус бесконечности до плюс бесконечности. Другими словами, в формулу
можно подставить любой
.
2) Область значений этой функции – неотрицательные числа. Весь график расположен не ниже оси Х, потому что квадрат любого числа – величина неотрицательная.
3) Если
, то
. Можно сказать, что при
парабола касается оси Х.
4) Точка (0; 0) на графике называется вершиной параболы. Конечно, это немного странно: ведь точка (0; 0) на графике – это, наоборот, ямка, самая низкая точка. Но вот такое у нее название.
5) Легко заметить, что график квадратичной функции симметричен относительно оси Y. Например, при
и
функция принимает одинаковые значения, равные 9.
При
и
также одинаковые значения, равные 4.
В общем виде формула квадратичной функции выглядит так:

Будем учиться строить график квадратичной функции, заданной такой формулой.
1. Начнем с простого случая. Построим график функции
.
Графики функции
сдвинут на 1 вверх по отношению к графику функции
. Потому что к каждому значению функции
мы прибавили 3, и график сдвинулся на 3 вверх.

Следующий - график функции
сдвинут на 2 вниз по отношению к графику функции
. Потому что из каждого значения функции
мы вычитаем 2, и график сдвигается на 2 вниз.

Мы поняли, как строить график функции
. Если
, то он будет сдвинут на с вверх по отношению к графику функции
. Если
, то сдвинут на с вниз. Как будто мы вырезали шаблон графика
из бумаги и двигаем его вверх-вниз. Можно сказать, что график функции
получается из графика
параллельным переносом вверх (если
) или вниз (если
).

3. Построим график функции
.
Тоже параллельный перенос. Но как же теперь надо подвинуть наш шаблон? На самом деле достаточно понять, куда движется вершина параболы. Куда вершина – туда поедет и вся парабола.
У параболы
вершина (то есть самая низкая точка на графике) - это (0; 0).
И это понятно. Ведь
при всех
.
Выражение
тоже не может быть меньше нуля. А значение, равное нулю, оно принимает, если
. Точка (3; 0) будет вершиной параболы
.
Получается, что график функции
сдвинут на 3 вправо относительно графика функции
.

4. А график функции
сдвинут на 2 влево относительно графика функции
.

Вот что мы получили:
Если функция задана формулой
и
, её график сдвинут относительно графика
на
вправо.
А график функции
при
сдвинут относительно графика функции
на
влево.

5. Построим график функции
.
Он получается из графика
сдвигом на 3 вправо и на 4 вверх.

Обратите внимание, как выглядят формулы для трех функций, графики которых мы только что построили. В них есть полный квадрат!
Один из способов построения графика квадратичной функции – это выделение полного квадрата.
6. Построим график функции 
Выделим полный квадрат:


Но что делать, если не удается выделить полный квадрат? В этом случае мы строим график по следующей схеме:
1) Смотрим на знак коэффициента
.
Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При
ветви направлены вверх, при
— вниз.
На рисунке приведены две параболы
с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями
.

2) Абсолютная величина коэффициента
отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше
, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y). Наоборот, чем меньше
, тем шире парабола (больше прижата к оси X).
7. На рисунке показаны две параболы
и
.
Вторая парабола в 3 раза более узкая, чем первая.

3) Абсцисса вершины параболы
находится по формуле:

Чтобы найти ординату вершины
, удобнее всего подставить
в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

где
— дискриминант.
4) Точки пересечения параболы
с осью X – это корни квадратного уравнения
. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то корней нет, и парабола не пересекает ось X.
5) Точка пересечения с осью Y находится легко: мы подставляем
в уравнение параболы. Получается точка
.
6) И пользуемся тем, что квадратичная парабола симметрична относительно прямой, проходящей через ее вершину.
8. Построить график функции: 
Выделим полный квадрат в формуле функции:


График этой функции получим сдвигом графика функции
вдоль оси X на 4 единицы вправо и вдоль оси Y на 4 единицы вниз.

9. Построить график функции:

График этой функции построим по алгоритму, без выделения полного квадрата.
1)
, значит, ветви параболы направлены вверх.
2)
, значит, готовый график будет вдвое более узкий, чем исходный 
3) Найдем координаты вершины параболы:


4) Найдем точки пересечения параболы с осью X:


Корни уравнения:
и 
5) Найдем точку пересечения с осью Y: подставляем
в уравнение параболы.

Получается точка (0, -6).
6) Пользуемся симметричностью графика относительно его вершины.

Примеры решения задач ОГЭ:
1. На рисунке изображены графики четырех квадратичных функций.

а) На каком из рисунков изображен график функции
? В ответ запишите номер рисунка.
Решение: Вершина параболы – в точке с координатами (-3; 1). Парабола растянута в 2 раза по оси ординат. Это рисунок 2.
Ответ: 2
б) На одном из рисунков изображен график функции
. На каком? В ответ запишите номер рисунка.
Решение: Вершина параболы – в точке с координатами (-3; - 1). Парабола сжата в 2 раза по оси ординат. Это рисунок 3.
Ответ: 3
2. На каком рисунке изображен график функции
?

Решение:
Формула
задает параболу с ветвями вниз, полученную с помощью сдвига параболы
на 2 единицы вниз вдоль оси Оу. Такая парабола изображена на рисунке 3.
Ответ: 3
3. Определите, график какой из функций изображен на рисунке. В ответе запишите номер формулы.
1) 
2) 
3) 
4) 

Решение:
На рисунке изображена парабола с ветвями вниз, коэффициент при
– отрицательный. Так как вершина параболы имеет координаты (2; 2), то эта парабола получена сдвигом параболы
на 2 единицы вправо по горизонтали и на 2 единицы вверх по вертикали. Формула функции, график которой изображен на рисунке:
. Это формула 4
Ответ: 4
4. Найдите значение c по графику функции
, изображенному на рисунке.

Решение.
Значение
— это ордината графика при
. Значит,
. Ответ под номером 4.
Ответ: 4
5. На рисунке изображён график функции
. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Утверждения:
А) функция возрастает на промежутке
Б) функция убывает на промежутке
Промежутки:
1) [1;2]
2) [0;2]
3) [-1;0]
4) [-2;3]
Решение:
Данная квадратичная функция возрастает на промежутке
. Этому промежутку соответствует единственный отрезок
, под номером 3.
И функция убывает на промежутке
, а этому промежутку принадлежит отрезок под номером 1, то есть
. Это ответ №1.
Ответ. 31
6. На рисунке изображены графики функций вида
. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.

Знаки чисел
1) 
2) 
3) 
4) 
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Решение.
а) Ветви графика направлены вверх, значит,
. Парабола пересекает ось ОY в двух точках, значит уравнение имеет два корня, такое возможно, если D>0. Номер 1.
б) Ветви графика направлены вверх, значит,
. Парабола не пересекает ось ОY, уравнение не имеет корней, если
. Номер 2.
в) Ветви графика направлены вниз, значит,
. Парабола не пересекает ось ОY, уравнение не имеет корней, если
. Номер 3.
г) Ветви этого графика направлены вниз, значит,
. Парабола пересекает ось ОY в двух точках, уравнение имеет два корня, если
. Номер 4.
Ответ. 1234
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Квадратичная функция. Парабола. Свойства и график.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
18.09.2023