Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ОГЭ по математике > Квадратичная функция. Парабола. Свойства и график.

Квадратичная функция. Парабола. Свойства и график.

Мы знаем, что такое линейная функция. Конечно, функции бывают не только линейные. В этой теме мы изучаем квадратичную функцию. В ее формулу входит $x$ в квадрате, ее график - парабола.

Мы помним, как выглядит парабола $y = x^2$ . В седьмом классе мы рисовали таблицу и строили график $y = x^2$ по точкам.

Вот такая была таблица. Мы берем $x$ из первой строчки, возводим его в квадрат и записываем во вторую строчку значение $y$ .

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	9	4	1	0	1	4	9

Наносим точки с координатами ( $x;y$ ) на координатную плоскость. Это точки

(-3; 9), (-2; 4); (-1; 1); (0; 0), (1; 1); (2; 4); (3; 9).

И соединяем эти точки плавной кривой. Получается график, который называется квадратичная парабола.

Посмотрим внимательно на этот график и перечислим его основные свойства.

1) Функция $y = x^2$ определена для всех $x$ , от минус бесконечности до плюс бесконечности. Другими словами, в формулу $y = x^2$ можно подставить любой $x$ .

2) Область значений этой функции – неотрицательные числа. Весь график расположен не ниже оси Х, потому что квадрат любого числа – величина неотрицательная.

3) Если $x=0$ , то $y=0$ . Можно сказать, что при $x=0$ парабола касается оси Х.

4) Точка (0; 0) на графике называется вершиной параболы. Конечно, это немного странно: ведь точка (0; 0) на графике – это, наоборот, ямка, самая низкая точка. Но вот такое у нее название.

5) Легко заметить, что график квадратичной функции симметричен относительно оси Y. Например, при $x=3$ и $x=-3$ функция принимает одинаковые значения, равные 9.

При $x=2$ и $x=-2$ также одинаковые значения, равные 4.

В общем виде формула квадратичной функции выглядит так:

$y = ax^2 + bx + c$

Будем учиться строить график квадратичной функции, заданной такой формулой.

1. Начнем с простого случая. Построим график функции

$y = x^2 + 3$ .

Графики функции $y = x^2 + 3$ сдвинут на 1 вверх по отношению к графику функции $y = x^2$ . Потому что к каждому значению функции $y = x^2$ мы прибавили 3, и график сдвинулся на 3 вверх.

Следующий - график функции $y = x^2 - 2$ сдвинут на 2 вниз по отношению к графику функции $y = x^2$ . Потому что из каждого значения функции $y = x^2$ мы вычитаем 2, и график сдвигается на 2 вниз.

Мы поняли, как строить график функции $y = x^2 + c$ . Если $c>0$ , то он будет сдвинут на с вверх по отношению к графику функции $y = x^2$ . Если $c<0$ , то сдвинут на с вниз. Как будто мы вырезали шаблон графика $y = x^2$ из бумаги и двигаем его вверх-вниз. Можно сказать, что график функции $y = x^2 + c$ получается из графика $y = x^2$ параллельным переносом вверх (если $c>0$ ) или вниз (если $c<0$ ).

3. Построим график функции $y = (x-3)^2$ .

Тоже параллельный перенос. Но как же теперь надо подвинуть наш шаблон? На самом деле достаточно понять, куда движется вершина параболы. Куда вершина – туда поедет и вся парабола.

У параболы $y = x^2$ вершина (то есть самая низкая точка на графике) - это (0; 0).

И это понятно. Ведь $x^2\geq 0$ при всех $x$ .

Выражение $(x-3)^2$ тоже не может быть меньше нуля. А значение, равное нулю, оно принимает, если $x=3$ . Точка (3; 0) будет вершиной параболы $y = (x-3)^2$ .

Получается, что график функции $y = (x-3)^2$ сдвинут на 3 вправо относительно графика функции $y = x^2$ .

4. А график функции $y = (x+2)^2$ сдвинут на 2 влево относительно графика функции $y= x^2$ .

Вот что мы получили:

Если функция задана формулой $y=(x-a)^2$ и $a>0$ , её график сдвинут относительно графика $y= x^2$ на $a$ вправо.

А график функции $y=(x+a)^2$ при $a>0$ сдвинут относительно графика функции $y= x^2$ на $a$ влево.

5. Построим график функции $y = (x-3)^2 + 4$ .

Он получается из графика $y= x^2$ сдвигом на 3 вправо и на 4 вверх.

Обратите внимание, как выглядят формулы для трех функций, графики которых мы только что построили. В них есть полный квадрат!

Один из способов построения графика квадратичной функции – это выделение полного квадрата.

6. Построим график функции $y=x^2+4x+1$

Выделим полный квадрат:

$y=x^2+4x+1=x^2+4x+4-3=(x+2)^2-3$

Но что делать, если не удается выделить полный квадрат? В этом случае мы строим график по следующей схеме:

1) Смотрим на знак коэффициента $a$ .

Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз.

На рисунке приведены две параболы $y = ax^2$ с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями $a$ .

2) Абсолютная величина коэффициента $a$ отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше $|a|$ , тем у́же парабола (больше прижата к оси Y). Наоборот, чем меньше $|a|$ , тем шире парабола (больше прижата к оси X).

7. На рисунке показаны две параболы $y = x^2$ и $y = 3x^2$ .

Вторая парабола в 3 раза более узкая, чем первая.

3) Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

$x_0=-\frac{b}{2a}$

Чтобы найти ординату вершины $y_0$ , удобнее всего подставить $x_0$ в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

$y_0=-\frac{D}{4a}$

где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

4) Точки пересечения параболы $y = ax^2 + bx + c$ с осью X – это корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c=0$ . Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то корней нет, и парабола не пересекает ось X.

5) Точка пересечения с осью Y находится легко: мы подставляем $x = 0$ в уравнение параболы. Получается точка $(0,c)$ .

6) И пользуемся тем, что квадратичная парабола симметрична относительно прямой, проходящей через ее вершину.

8. Построить график функции: $y=x^2-8x+12$

Выделим полный квадрат в формуле функции:

$y=(x^2-8x+16)-16+12$

$y=(x-4)^2-4$

График этой функции получим сдвигом графика функции $y=x^2$ вдоль оси X на 4 единицы вправо и вдоль оси Y на 4 единицы вниз.

9. Построить график функции:

$y=2x^2-4x-6$

График этой функции построим по алгоритму, без выделения полного квадрата.

1) $a=2>0$ , значит, ветви параболы направлены вверх.

2) $a=2$ , значит, готовый график будет вдвое более узкий, чем исходный $y=x^2$

3) Найдем координаты вершины параболы:

$x_0=\frac{-b}{2a}; x_0=\frac{4}{4}=1$

$y_0=2\cdot 1^2-4\cdot 1-6=2-4-6=-8$

4) Найдем точки пересечения параболы с осью X:

$2x^2-4x-6=0$

$x^2-2x-3=0$

Корни уравнения: $x=3$ и $x=-1$

5) Найдем точку пересечения с осью Y: подставляем $x = 0$ в уравнение параболы.

$y=0^2-4\cdot 0-6=-6$

Получается точка (0, -6).

6) Пользуемся симметричностью графика относительно его вершины.

Примеры решения задач ОГЭ:

1. На рисунке изображены графики четырех квадратичных функций.

а) На каком из рисунков изображен график функции $y=2(x+3)^2+1$ ? В ответ запишите номер рисунка.

Решение: Вершина параболы – в точке с координатами (-3; 1). Парабола растянута в 2 раза по оси ординат. Это рисунок 2.

Ответ: 2

б) На одном из рисунков изображен график функции $y=0,5 (x+3)^2-1$ . На каком? В ответ запишите номер рисунка.

Решение: Вершина параболы – в точке с координатами (-3; - 1). Парабола сжата в 2 раза по оси ординат. Это рисунок 3.

Ответ: 3

2. На каком рисунке изображен график функции $y=-x^2-2$ ?

Решение:

Формула $y=-x^2-2$ задает параболу с ветвями вниз, полученную с помощью сдвига параболы $y=-x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Оу. Такая парабола изображена на рисунке 3.

Ответ: 3

3. Определите, график какой из функций изображен на рисунке. В ответе запишите номер формулы.

1) $y=-x^2+2$

2) $y=-(x-2)^2$

3) $y=-x^2-2$

4) $y=-(x-2)^2+2$

Решение:

На рисунке изображена парабола с ветвями вниз, коэффициент при $x^2$ – отрицательный. Так как вершина параболы имеет координаты (2; 2), то эта парабола получена сдвигом параболы $y=-x^2$ на 2 единицы вправо по горизонтали и на 2 единицы вверх по вертикали. Формула функции, график которой изображен на рисунке: $y=-(x-2)^2+2$ . Это формула 4

Ответ: 4

4. Найдите значение c по графику функции $y=ax^2+bx+c$ , изображенному на рисунке.

Решение.

Значение $c$   — это ордината графика при $x=0$ . Значит, $c=3$ . Ответ под номером 4.

Ответ: 4

5. На рисунке изображён график функции $y=ax^2+bx+c$ . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Утверждения:

А) функция возрастает на промежутке

Б) функция убывает на промежутке

Промежутки:

1) [1;2]

2) [0;2]

3) [-1;0]

4) [-2;3]

А	Б

Решение:

Данная квадратичная функция возрастает на промежутке $(-\infty;1)$ . Этому промежутку соответствует единственный отрезок $[-1;0]$ , под номером 3.

И функция убывает на промежутке $(1;+\infty)$ , а этому промежутку принадлежит отрезок под номером 1, то есть $[1;2]$ . Это ответ №1.

Ответ. 31

6. На рисунке изображены графики функций вида $y=ax^2+bx+c$ . Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.

Знаки чисел

1) $a>0, D>0$

2) $a>0, D<0$

3) $a<0, D>0$

4) $a<0, D<0$

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	С

Решение.

а) Ветви графика направлены вверх, значит, $a>0$ . Парабола пересекает ось ОY в двух точках, значит уравнение имеет два корня, такое возможно, если D>0. Номер 1.

б) Ветви графика направлены вверх, значит, $a>0$ . Парабола не пересекает ось ОY, уравнение не имеет корней, если $D<0$ . Номер 2.

в) Ветви графика направлены вниз, значит, $a<0$ . Парабола не пересекает ось ОY, уравнение не имеет корней, если $D<0$ . Номер 3.

г) Ветви этого графика направлены вниз, значит, $a<0$ . Парабола пересекает ось ОY в двух точках, уравнение имеет два корня, если $D>0$ . Номер 4.

Ответ. 1234

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Квадратичная функция. Парабола. Свойства и график.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 18.09.2023

Квадратичная функция. Парабола. Свойства и график.

Это полезно