Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Квадратичная функция. Парабола. Свойства и график.

Мы знаем, что такое линейная функция. Конечно, функции бывают не только линейные. В этой теме мы изучаем квадратичную функцию. В ее формулу входит x в квадрате, ее график - парабола.

Мы помним, как выглядит парабола y = x^2. В седьмом классе мы рисовали таблицу и строили график y = x^2 по точкам.

Вот такая была таблица. Мы берем x из первой строчки, возводим его в квадрат и записываем во вторую строчку значение y.

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9

Наносим точки с координатами (x;y) на координатную плоскость. Это точки

(-3; 9), (-2; 4); (-1; 1); (0; 0), (1; 1); (2; 4); (3; 9).

И соединяем эти точки плавной кривой. Получается график, который называется квадратичная парабола.

Посмотрим внимательно на этот график и перечислим его основные свойства.

1) Функция y = x^2 определена для всех x, от минус бесконечности до плюс бесконечности. Другими словами, в формулу y = x^2 можно подставить любой x.

2) Область значений этой функции – неотрицательные числа. Весь график расположен не ниже оси Х, потому что квадрат любого числа – величина неотрицательная.

3) Если x=0, то y=0. Можно сказать, что при x=0 парабола касается оси Х.

4) Точка (0; 0) на графике называется вершиной параболы. Конечно, это немного странно: ведь точка (0; 0) на графике – это, наоборот, ямка, самая низкая точка. Но вот такое у нее название.

5) Легко заметить, что график квадратичной функции симметричен относительно оси Y. Например, при x=3 и x=-3 функция принимает одинаковые значения, равные 9.

При x=2 и x=-2 также одинаковые значения, равные 4.

В общем виде формула квадратичной функции выглядит так:

y = ax^2 + bx + c

Будем учиться строить график квадратичной функции, заданной такой формулой.

1. Начнем с простого случая. Построим график функции

y = x^2 + 3.

Графики функции y = x^2 + 3  сдвинут на 1 вверх по отношению к графику функции y = x^2. Потому что к каждому значению функции y = x^2 мы прибавили 3, и график сдвинулся на 3 вверх.

Следующий -  график функции y = x^2 - 2 сдвинут на 2 вниз по отношению к графику функции y = x^2.  Потому что из каждого значения функции y = x^2 мы вычитаем 2, и график сдвигается на 2 вниз.

Мы поняли, как строить график функции y = x^2 + c. Если c>0, то он будет сдвинут на с вверх по отношению к графику функции y = x^2. Если c<0, то сдвинут на с вниз. Как будто мы вырезали шаблон графика y = x^2 из бумаги и двигаем его вверх-вниз. Можно сказать, что график функции y = x^2 + c получается из графика y = x^2 параллельным переносом вверх (если c>0) или вниз (если c<0).

3. Построим график функции y = (x-3)^2.

Тоже параллельный перенос. Но как же теперь надо подвинуть наш шаблон? На самом деле достаточно понять, куда движется вершина параболы. Куда вершина – туда поедет и вся парабола.

У параболы y = x^2 вершина (то есть самая низкая точка на графике) - это (0; 0).

И это понятно. Ведь x^2\geq 0 при всех x.

Выражение (x-3)^2 тоже не может быть меньше нуля. А значение, равное нулю, оно принимает, если x=3. Точка (3; 0) будет вершиной параболы y = (x-3)^2.

Получается, что график функции y = (x-3)^2 сдвинут на 3 вправо относительно графика функции y = x^2.

4. А график функции y = (x+2)^2 сдвинут на 2 влево относительно графика функции y= x^2.

Вот что мы получили:

Если функция задана формулой y=(x-a)^2 и a>0, её график сдвинут относительно графика y= x^2 на a вправо.

А график функции y=(x+a)^2 при a>0 сдвинут относительно графика функции y= x^2 на a влево.

5. Построим график функции y = (x-3)^2 + 4.

Он получается из графика y= x^2 сдвигом на 3 вправо и на 4 вверх.

Обратите внимание, как выглядят формулы для трех функций, графики которых мы только что построили. В них есть полный квадрат!

Один из способов построения графика квадратичной функции – это выделение полного квадрата.

6. Построим график функции y=x^2+4x+1

Выделим полный квадрат:

y=x^2+4x+1=x^2+4x+4-3=(x+2)^2-3

Но что делать, если не удается выделить полный квадрат? В этом случае мы строим график по следующей схеме:

1) Смотрим на знак коэффициента a.

Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a>0 ветви направлены вверх, при a<0  — вниз.

На рисунке приведены две параболы y = ax^2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.

2) Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).

7. На рисунке показаны две параболы y = x^2 и y = 3x^2.

Вторая парабола в 3 раза более узкая, чем первая.

3) Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c находится по формуле:

x_0=-\frac{b}{2a}

Чтобы найти ординату вершины y_0, удобнее всего подставить x_0 в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

y_0=-\frac{D}{4a}

где D = b^2 - 4ac — дискриминант.

4) Точки пересечения параболы y = ax^2 + bx + c с осью X – это корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c=0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то корней нет, и парабола не пересекает ось X.

5) Точка пересечения с осью Y находится легко: мы подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0,c).

6) И пользуемся тем, что квадратичная парабола симметрична относительно прямой, проходящей через ее вершину.

8. Построить график функции: y=x^2-8x+12

Выделим полный квадрат в формуле функции:

y=(x^2-8x+16)-16+12

y=(x-4)^2-4

График этой функции получим сдвигом графика функции y=x^2  вдоль оси X на 4 единицы вправо и вдоль оси Y на 4 единицы вниз.

9. Построить график функции:

y=2x^2-4x-6

График этой функции построим по алгоритму, без выделения полного квадрата.

1) a=2>0, значит, ветви параболы направлены вверх.

2) a=2, значит, готовый график будет вдвое более узкий, чем исходный y=x^2

3) Найдем координаты вершины параболы:

x_0=\frac{-b}{2a}; x_0=\frac{4}{4}=1

y_0=2\cdot 1^2-4\cdot 1-6=2-4-6=-8

4) Найдем точки пересечения параболы с осью X:

2x^2-4x-6=0

x^2-2x-3=0

Корни уравнения: x=3 и x=-1

5) Найдем точку пересечения с осью Y: подставляем x = 0 в уравнение параболы.

y=0^2-4\cdot 0-6=-6

Получается точка (0, -6).

6) Пользуемся симметричностью графика относительно его вершины.

Примеры решения задач ОГЭ:

1. На рисунке изображены графики четырех квадратичных функций.

а) На каком из рисунков изображен график функции y=2(x+3)^2+1? В ответ запишите номер рисунка.

Решение: Вершина параболы – в точке с координатами (-3; 1). Парабола растянута в 2 раза по оси ординат. Это рисунок 2.

Ответ: 2

б) На одном из рисунков изображен график функции y=0,5 (x+3)^2-1. На каком? В ответ запишите номер рисунка.

Решение: Вершина параболы – в точке с координатами (-3; - 1). Парабола сжата в 2 раза по оси ординат. Это рисунок 3.

Ответ: 3

2. На каком рисунке изображен график функции y=-x^2-2?

Решение:

Формула y=-x^2-2 задает параболу с ветвями вниз, полученную с помощью сдвига параболы y=-x^2 на 2 единицы вниз вдоль оси Оу. Такая парабола изображена на рисунке 3.

Ответ: 3

3. Определите, график какой из функций изображен на рисунке. В ответе запишите номер формулы.

1) y=-x^2+2

2) y=-(x-2)^2

3) y=-x^2-2

4) y=-(x-2)^2+2

Решение:

На рисунке изображена парабола с ветвями вниз, коэффициент при x^2  – отрицательный. Так как вершина параболы имеет координаты (2; 2), то эта парабола получена сдвигом параболы y=-x^2  на 2 единицы вправо по горизонтали и на 2 единицы вверх по вертикали. Формула функции, график которой изображен на рисунке: y=-(x-2)^2+2. Это формула 4

Ответ: 4

4. Найдите значение c по графику функции y=ax^2+bx+c, изображенному на рисунке.

Решение.

Значение c  — это ордината графика при x=0. Значит, c=3. Ответ под номером 4.

Ответ: 4

5. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Утверждения:

А) функция возрастает на промежутке

Б) функция убывает на промежутке

Промежутки:

1) [1;2]

2) [0;2]

3) [-1;0]

4) [-2;3]

А Б

Решение:

Данная квадратичная функция возрастает на промежутке (-\infty;1). Этому промежутку соответствует единственный отрезок [-1;0], под номером 3.

И функция убывает на промежутке (1;+\infty), а этому промежутку принадлежит отрезок под номером 1, то есть [1;2]. Это ответ №1.

Ответ. 31

6. На рисунке изображены графики функций вида y=ax^2+bx+c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.

Знаки чисел

1) a>0, D>0

2) a>0, D<0

3) a<0, D>0

4) a<0, D<0

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А Б В С

Решение.

а) Ветви графика направлены вверх, значит, a>0. Парабола пересекает ось ОY в двух точках, значит уравнение имеет два корня, такое возможно, если D>0. Номер 1.

б) Ветви графика направлены вверх, значит, a>0. Парабола не пересекает ось ОY,  уравнение не имеет корней, если D<0. Номер 2.

в) Ветви графика направлены вниз, значит, a<0. Парабола не пересекает ось ОY, уравнение не имеет корней, если D<0. Номер 3.

г) Ветви этого графика направлены вниз, значит, a<0. Парабола пересекает ось ОY в двух точках, уравнение имеет два корня, если D>0. Номер 4.

Ответ. 1234

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Квадратичная функция. Парабола. Свойства и график.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 18.09.2023

Поделиться страницей

Это полезно

Теория вероятностей на ЕГЭ-2024 по математике
В варианте ЕГЭ-2024 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
ЕГЭ Математика
Разбор демоверсии ЕГЭ-2024
по профильной математике