Квадратичные неравенства

Покажем, как с помощью графика функции \(y=ax^2+bx+c\)  решать квадратичные неравенства.

Квадратичная функция, или парабола, — это функция вида \(y=ax^2+bx+c\) 

Вспомним свойства этой функции. Вот как выглядит ее график.

Координаты вершины параболы: \(x_0=-\frac{b}{2a}, y_0=y(x_0)\) 

Если \(a>0\), ветви вверх

Если \(a<0\), ветви вниз Точки пересечения с осью X: \(x_1\) и \(x_2\) где \(x_1\) и \(x_2\) корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) Точка пересечения с осью Y: М (0; с). Вспомним также, как выражение \(ax^2+bx+c\) раскладывается на множители. Квадратным трехчленом называется выражение вида \(ax^2+bx+c\) 

Его можно разложить на множители следующим образом:

\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) 

Здесь \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(ax^2 +bx+c=0\)

Конечно, такое разложение возможно, когда уравнение \(ax^2+bx+c=0\)  имеет корни.

Примеры:

1) \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) 

2) \(3x^2-4x+1=3(x-1)(x-\frac{1}{3})=(x-1)(3x-1)\) 

3) \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\) 

В каждом из случаев мы нашли корни соответствующего квадратного уравнения.

Все это поможет нам при решении неравенств.

1. Решим неравенство \(x^2<400\) Запомним: извлекать корень из неравенства нельзя. Запись \(x < \pm 20\) не имеет смысла. Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-) Как же надо решать это неравенство? Мы решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции \(y = x^2\) и отметим все значения \(x\), для которых \(y < 400\).

Теперь мы видим правильный ответ: \(x\in\)(−20; 20).

Можно сделать немного по-другому: нарисовать схематично график функции \(y=x^2-400\).

Это квадратичная парабола с ветвями вверх. Она пересекает ось Х в точках -20 и 20.

Нам нужны те значения Х, при которых \(x^2\)–400<0. Это часть параболы, лежащая ниже оси Х. А ниже оси Х расположена часть параболы при -20<\(x\)<20. Они и войдут в ответ. Такой способ даже лучше: мы нарисовали эскиз графика, и нам хватило только оси Х. Ось Y даже не понадобилась. 2. Следующее неравенство: \(x^2>16\) 

Переносим всё в левую часть неравенства. Раскладываем левую часть на множители.

\(x^2-16>0\) 

\((x-4)(x+4)>0\) 

Рисуем ось X. Рисуем параболу \(y=x^2-16\) с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках -4 и 4. Неравенство выполняется, когда  \(y>0\). Значит, нам нужны части параболы, лежащие выше оси Х. Это интервалы от минус бесконечности до -4 и от 4 до плюс бесконечности.

Как записать их в ответ? Для этого применяется значок объединения: \(\cup\).

Он означает, что нам подходит или один, или другой интервал.

В геометрии нам встречался другой символ, пересечение: \(\cap\) 

Пересечение \(\cap\) – значит «и то, и другое».

А объединение \(\cup\) – значит «или одно, или другое».

Вот как выглядит ответ:

\(x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)\) 

3. Решим неравенство:  \(x^2-3x-10>=0\) 

Графиком функции \(y=x^2-3x-10\) служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение \(x^2-3x-10=0\), находим \(x_1=-2\) и \(x_2=5\) — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при \(x \in\) (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x<−2 и x>5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при  \(x\in(-\infty;-2]\cup[5;+\infty)\).

На рисунке точки -2 и 5 закрашенные, потому что неравенство нестрогое, знак ≥. Сами точки -2 и 5 тоже входят в ответ. Поэтому на рисунке они закрашенные, а в ответе им соответствуют квадратные «скобки»: ] и [.

4. Ещё одно неравенство: \(x^2+2x+4>0\) 

Ветви параболы \(y=x^2+2x+4\) направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение \(x^2+2x+4=0\) не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

Получается, что значения функции положительны при всех возможных \(x\). Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа, от минус бесконечности до бесконечности.

Ответ: \((-\infty;+\infty)\) 

5. Следующее квадратичное неравенство: \(x^2-6x+5<0\)  Разложим его левую часть на множители. \(x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\)  Получим: \((x-1)(x-5)<0\)  И больше ничего не пишем. Рисуем ось X. Рисуем параболу \(y=x^2-6x+5\) с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках 1 и 5.

Можно сказать, что точки 1 и 5 разбивают всю числовую прямую на три интервала. На том, которые посередине, значения функции \(y=x^2-6x+5\) отрицательны (это нам и надо). А на двух других значения функции положительны.

Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

\(x\in (1;5)\) 

6. Еще неравенство: \(x^2-6x+10>0\) 

Квадратное уравнение \(x^2-6x+10=0\) не имеет решений — его дискриминант отрицателен. Это значит, что парабола \(y=x^2-6x+10\) нигде не пересекает ось X. Ветви этой параболы направлены вверх. Все значения функции \(y=x^2-6x+10\) положительны. Неравенство \(x^2-6x+10>0\) выполняется для всех действительных X.

Соберем в одну таблицу примеры решения различных квадратичных неравенств.

Давайте обобщим, как мы решаем квадратичные неравенства с помощью эскиза параболы.

Алгоритм: 

1) Переносим все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался только ноль.

2) Если нужно, раскладываем левую часть на множители по формуле: \(ax^2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2)\).

Здесь \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Отмечаем на числовой прямой точки, в которых левая часть неравенства равна нулю. Рисуем параболу, которая пересекает числовую прямую в этих точках.

3) Выбираем нужные интервал (или интервалы), в соответствии со знаком неравенства.

4) Записываем ответ.

7. Решим неравенство:  \(5x^2+4x-12\geq0\) 

Разберем этот пример строго по алгоритму.

1) Справа ноль, переносить ничего не нужно.

2) Найдем нули функции. Приравняем левую часть к нулю и решим уравнение.

\(5x^2+4x-12=0\)

\(a=5; b=4; c=-12.\)

\(D=4^2-4\cdot 5\cdot (-12)=16+240=256\) 

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt{D}=\sqrt{256}=16\) 

\(x_1=\frac{-4-16}{2\cdot5}=\frac{-20}{10}=-2\)

\(x_2=\frac{-4+16}{2\cdot 5}=\frac{12}{10}=1,2\) 

3) Отметим корни уравнения на оси Х. Неравенство нестрогое (знак \(\leq\)), точки на оси закрашены.

Коэффициент перед \(x^2\) положительный (\(a=5>0\)), значит, ветви параболы направлены вверх. Нарисуем параболу, которая пересекает ось Х в точках -2 и 1,2.

4) Наше неравенство имеет вид \(5x^2+4x-12\leq0\). В ответ запишем теинтервалы, где парабола лежит выше оси OX и добавим точки, в которых парабола пересекает ось Х.

Мы можем заштриховать соответствующие участки и записать их в ответ.

Ответ: \(x\in (-\infty;-2]\cup[1,2;+\infty)\) 

8. Решить неравенство \(x^2+2x+1>0\)

Решение.

Разложим выражение \(x^2+2x+1\) на множители. Для этого найдем корни уравнения 

\(x^2+2x+1=0\) 

\(D=4-4=0,\) уравнение имеет один корень.

\(x=-1\).

Можно было найти этот корень еще проще, заметив, что \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) - полный квадрат.

1) Отметим на оси Х точку \(x= -1\). Эта точка будет пустой, выколотой, потому что неравенство строгое.

Так как корень только один, то парабола не пересекает ось OХ, а только касается ее.

2) В условии спрашивают, при каких х выражение больше нуля. Выше оси ОХ лежит вся парабола, кроме точки -1, в которой она касается оси (там находится нуль функции, мы выяснили). Значит, решения – это все \(x\), кроме \(x=-1\). 

Ответ: \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\) 

9. Решить неравенство \(x>x^2\) 

Решение.

1) Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался только 0. 

\(x-x^2>0\) 

2) Разложим левую часть на множители. Просто выносим \(x\) за скобку.

\(x(1-x)>0\) 

Левая часть равна нулю, если \(x=0\) или \(x=1\).

Отметим на оси Х точки 0 и 1. Обе они пустые, потому что неравенство строгое.

Проведем параболу через эти точки. Т.к. перед \(x^2\) коэффициент отрицательный, то у параболы ветви направлены вниз.

3) В условии спрашивают, при каких значениях переменной выражение в левой части неравенства больше нуля. Это тот участок параболы, где парабола выше оси ОХ. Соответствующее множество и пойдет в ответ.

Ответ: \(x\in (0;1)\) 

10. Решить неравенство \(2x^2+3x+9>0\) 

Решение.

1) Справа ноль, переносить ничего не нужно.

2) Разложим выражение в левой части неравенства на множители. Для этого решим уравнение: 

\(2x^2+3x+9=0\) 

\(D=3^2-4\cdot 1\cdot 9=9-36=-27\) 

Дискриминант отрицательный, уравнение корней не имеет. Но это еще не значит, что неравенство не имеет решений. Посмотрим, что происходит в этом случае с параболой.

Т.к. коэффициент \(a=2>0\), то ветви параболы направлены вверх. А если корней нет, то парабола не касается оси ОХ и не пересекает ее. Значит, вся парабола «висит» над осью ОХ.

3) В условии спрашивают, при каких х парабола выше оси OХ.

Ответ - при любых.

Ответ: \(x\in (-\infty;+\infty)\) 

Также можно решать квадратичные неравенства немного иначе, применяя метод интервалов.

Он похож на то, что мы только что делали. Но здесь мы не будем рисовать параболу.

Алгоритм для решения квадратичных неравенств методом интервалов:

1) Переносим все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль;

2) Делаем так, чтобы при \(x^2\) стоял положительный коэффициент. Так удобнее.

3) Находим точки, в которых выражение в левой части неравенства обращается в ноль. Если необходимо, раскладываем левую часть на множители по формуле:

\(ax^2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2)\).

Здесь \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

4) Отмечаем найденные точки на числовой прямой. Эти точки разбивают всю числовую прямую на интервалы, на каждом из которых выражение в левой части неравенства сохраняет свой знак. Либо оно положительно на всем интервале, либо отрицательно.

5) на каждом интервале определяем знак неравенства.

6) в ответ идут те интервалы, которые соответствуют знаку неравенства.

11. Решим неравенство \(-x^2+x+6>0\) 

Будем действовать по алгоритму.

1) В неравенстве справа ноль, поэтому переносить в левую часть ничего не нужно (первый шаг алгоритма.

2) Умножим обе части неравенства на (-1), чтобы коэффициент при \(x^2\) стал положительным. Напомним, что при умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется.

\(x^2-x-6<0\)  3) Разложим левую часть на множители. Для этого решим квадратное уравнение: \(x^2-x-6=0\)  По теореме Виета. \(\left\{\begin{matrix} x_1\cdot x_2=-6 \\ x_1+x_2=1\end{matrix}\right.\)  \(x_1=3; x_2=-2\) Получим: \((x+2)(x-3) <0.\) 4) Отметим на числовой прямой точки -2 и 3. Напомним, что если неравенство строгое, а у нас именно такое, то точки на оси отмечаем пустыми. 

5) Получили три интервала, на каждом из которых выражение в левой части неравенства имеет определенный знак, «плюс» или «минус». Проверим знак выражения \((x+2)(x-3)\) на каждом из интервалов.

Рассмотрим правый интервал, от 3 до +\(\infty\). Для определения знака возьмем любую точку из этого интервала, например, \(x=5\).

Подставим число 5 в неравенство \((x+2)(x-3)<0\) и выясним, какой получится знак: \((5+2)(5-3)>0\),  значит, на выбранном интервале знак +, можно его отменить прямо над осью.

То же самое проделываем с оставшимися интервалами:

На интервале (-2; 3) возьмем точку 0.

\((0+2)(0-3)<0\) - подходит, на соответствующем интервале получился знак "-". Проверим знак левого интервала \((-\infty;-2)\). Возьмем на нем точку -3. Вместо \(x\) подставим (-3) в неравенство и получим: \((-3+2) (-3-3) >0\) 

На левом интервале получился знак "+".

Отметим знаки на интервалах на числовой оси:

6) Выбираем интервал (или интервалы) для ответа.

Мы решали неравенство \(x^2-x-6<0\). И нашли, при каких значениях переменной левая часть неравенства меньше нуля. Меньше нуля - там, где на интервале знак минус. Штриховкой покажем верное множество и запишем ответ.

Ответ: \(x\in (-2;3)\) 

12. Решить неравенство \(x^2\geq9\) 

Решение.

1) Перенесем все члены неравенства в левую часть: \(x^2-9\geq 0\)

2) Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов.

\((x-3)(x+3)\geq 0\) 

Выражение в левой части неравенства равно нулю, если \(x=3\) или \(x=-3\). 

3) Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой. Эти точки делят числовую прямую на три интервала, на каждом из которых выражение \((x-3)(x+3)\)  имеет определенный знак (или плюс, или минус). Точки закрашенные, потому что неравенство нестрогое.

Определим знаки для каждого интервала.

На интервале \([3;+\infty)\) возьмем \(x=5\).

\((x-3)(x+3)>0\), на правом интервале знак "+"

На интервале \([-3;3]\) возьмем \(x=0\).

Получим, что на этом интервале знак «минус».

А на левом интервале возьмем \(x=-5\). И получим, что на левом интервале знак "+" 

4) Штриховкой показываем ответ на числовой оси.

Ответ: \(x\in (-\infty;-3]\cup[3;+\infty)\) 

Заметим, что квадратичные неравенства можно решать и одним, и другим способами. Можно рисовать квадратичную параболу или применять метод интервалов. А вот если у нас произведение не двух, а большего числа «скобочек», применяется именно метод интервалов. Например, он помогает решить неравенство вида \((x+1)(x-2)(x-5)>0\). О таких неравенствах мы расскажем позже.