Автор Г.Д. Соловьева
Для быстрого и эффективного повторения материала при подготовке к ОГЭ по математике вам помогут опорные конспекты. Например, по таким темам:
Уравнение – это равенство с переменной.
Например:
\(x + 3= 0\)
\(4x + 1 = 6\)
\(x^{2} = 9\)
\((x-5) \cdot (x+3) = 0\)
Корень уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Например, уравнение \(2x + 3 = 7\)
Если \(x = 2\), тогда \(2\cdot 2+3 = 7\). Число 2 – корень данного уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.
Примеры:
Уравнения \(x^{2} = 49\) и \((x-7)(x+7) = 0\) равносильны. Их корни 7 и -7.
Уравнения \(x^{2} = -5\) и \(y-4 = y\) равносильны. Они оба не имеют корней
1) Можем переносить слагаемое из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.
2) Можем умножать (делить) левую и правую части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
Это уравнение вида \(ax = b\), где \(x\) – переменная, \(a\) и \(b\) - некоторые числа.
1) ax = b, где a ≠ 0, b ≠ 0. Например, 2х = 4.
Такое уравнение имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\)
Например,
\(x=\frac{b}{a}4x= 1\).
Корень уравнения: \(x=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{3}x=12\).
Решаем уравнение:
\(x=3\cdot 12\), \(x = 36\)
2) Уравнение \(0\cdot x = b\)
В этом уравнении \(a = 0\), \(b \neq 0\).
Такое уравнение не имеет корней.
Например:
2x + 9 = 2(x+6)
2x + 9 = 2x + 12
0 = 3.
3) Уравнение \(0\cdot x = 0\)
Здесь a = 0, b= 0. Уравнение имеет бесконечно много корней. Любое число х является его корнем.
Например:
\(2(x + 4) + x = 8 + 3x\)
\(2x + 8 + x = 8 + 3x\)
\(0 = 0\)
к оглавлению ▴Прямая пропорциональность – это функция вида \(y=kx\), где \(x\) - переменная, \(k\neq 0\).
График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат
Случай k > 0. Пример: \(y = 3x\)
Строим график.
| x | 0 | 1 |
| y | 0 | 3 |
Случай k < 0. Пример: \(y =-\frac{1}{2}x\)
| x | 0 | 4 |
| y | 0 | -2 |
Линейная функция – это функция вида \(\boldsymbol{y = kx + b}\), где \(\boldsymbol{x}\) – переменная, k и b числа.
График линейной функции – прямая
Пример для k > 0 – функция \(y = 2x + 3\)
ГРАФИК
Пример для k < 0 – функция \(y =-\frac{1}{2}x-2\)
График функции \(y = kx + b\), где \(k\neq 0\), - прямая, параллельная прямой \(y = kx\).
\(y = kx\) – частный случай линейной функции \(y = kx + b\) при \(b = 0\)
Если k = 0, то y = b – прямая, параллельная оси x
Если k = 0, b = 0, то y = 0 – ось x
к оглавлению ▴Угловой коэффициент прямой – это число k в формуле функции y = kx + b
| Если k > 0, то угол наклона к оси х – острый. | Если k<0, то угол наклона к оси х – тупой. |
Если для двух прямых угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются
РИСУНОК
Если для двух прямых угловые коэффициенты равны, прямые параллельны.
Например, \(y_{1}=\frac{1}{2} x+1\), \(y_{2}=\frac{1}{2} x-2\)
РИСУНОК
к оглавлению ▴Определение: Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.
- возведение в степень
Выражение \(a^n\) - степень числа а,
а — основание степени (показывает, какой множитель умножается),
n — показатель степени (показывает, сколько множителей умножается).
Запомним: \(a^{2} \geq 0\) для любого числа а.
\(a^{1} = a\)
\(a^{0} = 1\) для любого а, не равного нулю.
Выражение «ноль в нулевой степени» не имеет смысла.
Примеры:
1) \(\left ( 1\frac{2}{5} \right )^{2}=\left ( \frac{7}{5} \right )^{2}=\left ( \frac{7}{5} \right )\cdot \left ( \frac{7}{5} \right )=\frac{49}{25} =1\frac{24}{25}\)
2) \(0,3^{3}=0,3\cdot 0,3\cdot 0,3=0,027\)
3) \(-1^{4} + (-2)^{3} = -1 + (-8) = -9\)
4) \(-6^{2} - (-1)^{4} = -36 -1 = -37 \)
5) \(8 \cdot 0,5^{3} + 25 \cdot 0,2^{2} = 8 \cdot 0,125 + 25 \cdot 0,04 = 1 + 1 = 2 \)
6) \(8 \cdot 0,11^{0} + 4 \cdot 5^{2} = 8 \cdot 1 + 4\cdot 25 = 8 + 100 = 108\)
к оглавлению ▴Умножение степеней.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают. Основание остается прежним.
\(\boldsymbol{a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}\)
Примеры:
1) \(a^{8} \cdot a^{7} = a^{8+7} = a^{15}\)
2) \(a \cdot a^{3} \cdot a^{4} \cdot a^{2} = a^{1+3+4+2} = a^{10} \)
3) \(5^{8}\cdot 25=5^{8}\cdot 5^{2}=5^{8+2}=5^{10}\)
Деление степеней
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитают показатель делителя. Основание остается прежним.
\(\boldsymbol{a^{m}:a^{n}=a^{m-n}}\)
Примеры:
1) \(a^{8} : a^{7} = a^{8-7} = a^{1} = a\)
2) \(a^{9} : a = a^{9-1} = a^{8}\)
3) \(2^{6} : 4 = 2^{6} : 2^{2} = 2^{6-2} = 2^{4} = 16\)
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели умножают.
\(\boldsymbol{(a^{n})^{m}=a^{n-m}}\)
Примеры:
1) \((x^{3})^{2} = x^{3\cdot 2} = x^{6}\)
2) \(25^{4} = (5^{2})^{4} = 5^{2\cdot 4} = 5^{8}\)
Возведение произведения в степень
При возведении произведения в степень в эту степень возводят каждый множитель и результаты перемножают.
\(\boldsymbol{(ab)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}\)
Примеры:
1) \((2x)^{3} = 2^{3}\cdot x^{3} = 8x^{3}\)
2) \(2^{4} \cdot 5^{4} = (2\cdot 5)^{4} = 10^{4} = 10000\)
Формулы сокращенного умножения
\(\boldsymbol{(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=(-a-b)^{2}}\)
\(\boldsymbol{(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(b-a)^{2}}\)
\(\boldsymbol{a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}\)
Примеры:
1) \((x+9)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 9 + 9^{2} = x^{2}+18x+81\)
2) \((2x-3y)^{2} = (2x)^{2} - 2\cdot 2x\cdot 3y +(3y)^{2} = 4x^{2}-12xy+9y^{2}\)
4) \((-3a+b^{4})^{2} = (b^{4}-3a)^{2} = b^{8} - 6ab^{4} + 9a^{2}\)
5) \(a^2+12a+36 = a^2 + 2\cdot a\cdot 6 + 6^2 = (a+6)^2\)
\(\boldsymbol{a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2 )}\)
\(\boldsymbol{a^{3} - b^{3} = (a-b) (a^{2} + ab+b^{2})}\)
Квадратное уравнение и разложение квадратного трехчлена на множители.
\(ax^{2} +bx+c =a (x-x_{1})(x - x_{2})\), где \(x_1\), \(x_2\) - корни квадратного трехчлена
Квадратное уравнение – уравнение вида \(ax^{2} + bx +c = 0\).
Дискриминант квадратного уравнения: \(\boldsymbol{D = b^2 - 4ac}\).
Если \(D=b^{2} - 4ac\) > 0, уравнение имеет два корня \(x = \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)
Если \(D = b^2 - 4ac = 0\), уравнение имеет один корень \(x = \frac{-b}{2a}\)
Если \(D=b^{2} - 4ac\) < 0, уравнение не имеет корней
Такие конспекты для подготовки к ОГЭ по математике легко сделать самим. Сделай конспекты по темам:
- Неравенство с одной переменной
- Квадратное неравенство
- Вероятность
- Квадратичная функция, обратная пропорциональность
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
