Линейные неравенства на ОГЭ по математике

Если в выражении с переменными вы увидели знак \(=\), то это уравнение.

Если знак \(<\) или \(>\) или \(\leq \) или \(\geq \) – то это, конечно, неравенство. Решение неравенства – это значение переменной, при котором оно верно.  Например, \(x=5\) является решением неравенства \(x > 3\), а \(x=0\) – не является.

Решить неравенство с одной переменной – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Решением неравенства могут быть точки, интервалы или отрезки.

Если решением неравенства является интервал \((-\infty ; +\infty )\), то \(x\) – любое число, от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Значком \(\infty\)  в математике обозначается бесконечность.

Приведем примеры.

Например, решением неравенства \(x < x + 2\) является любое число.

Решением неравенства \(x > 7\) будет интервал \((7; +\infty )\), то есть от \(7\) до плюс бесконечности. Сама точка \(7\) в этот интервал не включается. Когда рядом с числом стоит круглая скобка, значит, само число не является решением.

Ответ можно записать так: \(x\in (7; +\infty )\).

У нас появился новый символ: \(\in\). Он читается: принадлежит. В геометрии мы тоже будем его использовать.

А решением неравенства \(x\geq 7\) будет полуинтервал \([7; +\infty )\), здесь точка \(7\) тоже будет решением.

Ответ записывается так: \(x\in [7; +\infty )\).

Запомним: число, стоящее рядом с круглой скобкой, в данный промежуток не включается, а число, стоящее рядом с квадратной скобкой, включается в указанный интервал.

Неравенство \(x < 7\) называют строгим. В нем есть знак \(<\), означающий: строго меньше.

А неравенство \(x\leq  7\) называется нестрогим, в нем присутствует знак \(\leq \). Он означает: меньше или равно.

Также мы рассматриваем двойные неравенства, где в середине \(x\), а с двух сторон от него – числа.

Запись \(3 < x < 7\) означает, что \(x\) находится от \(3\) до \(7\), не включая сами эти числа.

Решением неравенства \(3 < x < 7\) будет интервал \((3; 7)\).

А решением неравенства \(3\leq  x\leq  7\) является отрезок \([a, b]\). Если \(x=3\) или \(x=7\), неравенство выполняется.

Каждое такое неравенство можно заменить на систему из двух неравенств.

Неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными.

Например, неравенства \(x-6 < 1\) и  \(x < 7\) равносильны (множество их решений совпадает, это все \(x < 7\)).

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида \(ax+b > 0\), где \(a, b\) — любые числа \((a\neq 0)\). Вместо знака \(>\) могут быть знаки \(<,\; \geq ,\; \leq\).

Неравенства \(5x+7 < 0\), \(\displaystyle \frac{3x+6}{5}\geq 0\), \(\sqrt{3x}-\frac{1}{2} > 0\) – являются линейными, неравенство \(9x^2+4 < 0\) не является линейным.

При решении линейных неравенств мы пользуемся правилами:

1) Можно переносить любое слагаемое из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

2) Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, и знак неравенства останется прежним.

3) Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный.

Пример 1. Решите неравенство: \(2x+7 < -5x-21\).

Решение:

Перенесем слагаемые с \(x\) в левую часть неравенства, остальные слагаемые – в правую, приведем подобные: \(7x < -28\). Разделим обе части неравенства на \(7\), знак неравенства сохранится: \(x < -4\). 

Ответ: \(x < -4\) или в виде числового промежутка \((-\infty ; -4)\).

Пример 2. Решите неравенство: \(2(x-3)+5(1-x)\geq 3(2x-5)\). В ответе укажите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства.

Решение:

Раскроем скобки в обеих частях неравенства: \(2x-6+5-5x\geq 6x-15\).

Перенесем слагаемые с \(x\) в левую часть неравенства, остальные слагаемые – в правую, приведем подобные: \(-9x\geq -14\).

Разделим обе части неравенства на \(-9\), при этом знак неравенства изменится, получим: \(x\leq \displaystyle \frac{14}{9}\).

Выделим целую часть в числе \(\displaystyle \frac{14}{9}\). Его можно заисать как \(1\displaystyle \frac{5}{9}\).

Решением неравенства будет промежуток \(\left(-∞; 1\displaystyle \frac{5}{9}\right]\).

Самое большое целое число, которое входит в этот промежуток, это \(1\).

Ответ: \(1.\)

Пример 3. Решите неравенство: \((x-6)^{2}-x^{2}> 0.\)

Решение:

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности: \(x^2-12x+36-x^2 > 0\).

Приведем подобные слагаемые и перенесем число без \(x\) в правую часть: \(-12x > -36\).

Разделим обе части неравенства на \(-12\), знак неравенства поменяем, получим: \(x < 3\).

Ответ: \(x < 3\) или в виде промежутка \((-\infty ; 3)\).