Линейные уравнения

Вспомним, что такое уравнение.

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестную переменную.

Например,  – уравнение.

Корень уравнения – значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Число 2 является корнем уравнения . Подставив 2 вместо , мы получим, что 4 = 4.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильными называют уравнения, множества решений которых совпадают.

Два уравнения равносильны, если все решения первого уравнения являются решениями второго и все решения второго являются решениями первого. У них одни и те же решения.  Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Например, уравнения  и  равносильны. Число 2 является корнем и одного, и другого уравнения, и других корней у них нет.

Записывается это так: ⇔

У нас появился новый символ: ⇔ (читается: равносильно).

Стрелочки и в ту, и в другую сторону. Это значит, что если , то . А если , то .

Линейные уравнения

Линейное уравнение с одной переменной - это вот такое уравнение: . Здесь  – переменная,  и  – числа.

Уравнение  – линейное с одной переменной.

Правила решения линейных уравнений:

1) Можем перенести любое слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком.

2) Можем умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

При этом мы получаем уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение:

Раскроем скобки в левой части уравнения: .

Приведем подобные слагаемые в левой части.

Если из  вычесть , получится . Если из  вычесть , получится .

Теперь уравнение выглядит так: .

Перенесем слагаемое  в правую часть с другим знаком, то есть с «плюсом»:

.

Получим: .

Отсюда .

Наше уравнение имеет один корень.

Ответ: -4.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей. Общий знаменатель равен 18. Получим: .

Сократив дроби, получим: .

Раскроем скобки: .

Перенесем все слагаемые с переменной х в левую часть, остальные – в правую:

.

Отсюда: .

Ответ: 13.

Пример 3. Решите уравнение: .

Решение:

Раскроем скобки: .

После переноса слагаемых и приведения подобных получим уравнение:

.

Отсюда .

Ответ: -2

Полезная информация для отличников

Как вы считаете - всегда ли линейное уравнение имеет решение?

Мы помним, что линейное уравнение с одной переменной имеет вид: .

Число  называют коэффициентом при переменной,  число  – свободным членом.

Оказывается, при решении линейного уравнения  возможны 3 случая:

1) Если ,  – любое число, то уравнение имеет ровно один корень   .

Например, уравнение  имеет единственный корень .

2) Если , , то уравнение принимает вид . Это равенство верно при любом , поэтому корнем уравнения будет любое число.

3) Если , , то уравнение принимает вид . При любом значении  в правой части уравнения получается ноль, а в левой части – не ноль.

В этом случае уравнение не имеет корней. Например, уравнение  не имеет корней.

Текстовые задачи, сводящиеся к линейным уравнениям.

Часто в математике встречаются задачи, где в условии дан текст. Они похожи на короткие рассказы. Автобус и грузовик едут из одного города в другой. Велосипедист обгоняет пешехода. Две бригады строят дом. Такие задачи обычно решаются с помощью уравнений.

Вот как мы действуем:

1) Выбираем неизвестную величину и обозначаем ее переменной, например, . Часто за переменную обозначают величину, которую надо найти в задаче.

2) Можно сделать рисунок.

3) Выражаем другие неизвестные величины (если они есть) через эту переменную.

4) Вносим данные в таблицу.

5) Составляем уравнение согласно условию задачи.

6) Решаем уравнение.

7) Проверяем ответ с точки зрения здравого смысла. Например, если скорость пешехода оказалась равной 300 км/час, значит, задача решена неправильно.

8) Если все правильно, записываем ответ.

Посмотрим, как решать текстовые задачи с помощью линейных уравнений.

Пример 4.

Расстояние от поселка А до поселка Б автобус проходит за 5 часов, а автомобиль – за 3 часа. Чему равно расстояние между поселками, если скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости автобуса? Ответ выразите в километрах.

Решение:

Обозначим скорость автобуса за  км/ч, тогда скорость автомобиля  км/ч. Воспользуемся формулой ( -  расстояние,  – скорость, – время). Тогда расстояние, которое проехал автобус, равно  км. Расстояние, которое проехал автомобиль, равно  км. По условию задачи, это одно и то же расстояние.

Составим и решим уравнение: .

Отсюда: ,

. Значит, скорость автобуса равна 45 км/ч.

Расстояние, которое он проехал, равно  км.

Ответ: 225.

Пример 5. Соседи Кирилл и Федор переносят кирпичи с одного дачного участка на другой в течение одного часа. Кирилл переносит в минуту на 1 кирпич меньше, чем Федор. Всего они перенесли 300 кирпичей. Сколько кирпичей переносит в одну минуту Федор?

Решение:

Обозначим за количество кирпичей, которые Федор переносит в минуту. Тогда Кирилл переносит  кирпичей. Вместе в минуту они переносят  кирпичей. А за 1 час, который равен 60 минутам, они перенесут  кирпичей. По условию, это 300 кирпичей. Составим уравнение: .

Решая его, найдем . Значит, Федор переносит в минуту 3 кирпича.

Ответ: 3.

Пример 6 (повторение). Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

Решение:

Такие задачи мы решали в теме "Сплавы, смеси, растворы".

Обозначим массу первого сплава  кг.

Тогда масса второго сплава  кг, а третьего  кг.

Для удобства переведем проценты в дроби:

% ;

% ;

% .

Тогда по условию задачи в первом сплаве содержится  кг меди, во втором  —  кг, в третьем сплаве содержится  кг меди.

Составим и решим уравнение:

.

Домножим обе части уравнения на 100, чтобы коэффициенты стали целыми.

.

После преобразований получим равносильное уравнение .

Отсюда находим .

Значит, масса первого сплава равна 6 кг, тогда масса второго сплава равна 10  кг, а масса третьего сплава 16 кг.

Ответ: 16.