Секреты подготовки к ОГЭ по Математике

Автор Г.Д. Соловьева

На экзамене по математике не разрешается использовать калькулятор. Поэтому надо знать приемы быстрого счета, «секреты» вычислений.

Вычисления с рациональными числами.

В ОГЭ по математике есть задания на сравнение чисел. Как выполнить их быстро и правильно?

Обыкновенную дробь со знаменателями 2, 5, 8, 20, 25, 40, 50 можно записать в виде конечной десятичной дроби. Например, \(\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{75}{100}=0,75.\)

Иногда, сравнивая обыкновенные дроби, можно не приводить их к общему знаменателю, а действовать по «смыслу». Для этого нужно знать такие правила:

1) \(\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\frac{1}{4}>...>\frac{1}{9}>\frac{1}{10}> ...\) - чем больше число долей, тем меньше каждая доля.

2) \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}<\frac{3}{4}<...<\frac{8}{9}<\frac{9}{10}<...\) - с приближением к 1 дроби вида \(\frac{b}{b+1}\) увеличиваются; 3) всякая неправильная дробь больше правильной. Например, \(\frac{14}{13}> \frac{13}{14}\);

4)из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Например, \(\frac{5}{8} > \frac{5}{9}\);

При сравнении двух дробей может помочь прием сравнения с «промежуточным числом».

Например, надо сравнить дроби \(\frac{4}{9}\) и \(\frac{6}{11};\).

Заметим, что \(\frac{4}{9}<\frac{1}{2}\), а \(\frac{6}{11}> \frac{1}{2}\). Значит, \(\frac{6}{11}>\frac{4}{9}\).

В задачах на проценты полезно знать соотношения между процентами и дробями.

Приемы быстрого счета

1) Как быстро поделить на 5.

Большие числа на 5 делить очень просто. Нужно умножить число на 2 и уменьшить в 10 раз.

Например, делим 195 на 5.

Шаг1: \( 195\cdot 2 = 390\)
Шаг2: Уменьшаем результат в 10 раз. Получаем 39.

Поделим 2978 на 5.

Шаг1: \(2978\cdot 2 = 5956\)

Шаг2: уменьшаем результат в 10 раз, то есть переносим запятую на 1 знак вправо: 595,6

2) Как быстро вычесть число из 1000.

Чтобы выполнить вычитание из 1000, нужно отнять от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнять от 10:

Вычислим: 1000 - 648.

Шаг1: Из  9 вычитаем 6, получим 3

Шаг2: Из 9 вычитаем  4, получим 5

Шаг3: Из 10 вычитаем 8, получим 2

Ответ: 352

3) Быстрое умножение больших чисел.

Чтобы перемножить большие числа, одно из которых четное, можно их перегруппировать.

\(32\cdot 125 = 16\cdot 250 = 8\cdot 500 = 4\cdot 1000 = 4000\).

4) Быстро умножаем на 1,5. Для этого к исходному числу прибавляем его половину.

Например, \(34\cdot 1,5 = 34+17=51\)

\(125\cdot 1,5= 125+62,5=187,5\)

5) Быстрое умножение на 5.

Мы знаем, что \(5=\frac{10}{2}\).

Поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2. Это значит: поделить число пополам и приписать справа ноль.

\(334\cdot 5=\frac{334\cdot 10}{2}=1670\)

6) Быстрое умножение на 15.

Чтобы число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

\(35\cdot 15=350+175=525\)

7) Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Например, возведем 85 в квадрат.

Шаг 1 — Умножаем первую цифру числа на первую цифру, увеличенную на единицу:

\(8\cdot (8+1) = 72\)

Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25.

\(85\cdot 85 = 7225\).

Возведем 45 в квадрат:

Шаг 1: \(4 \cdot (4 + 1) = 20\)

Шаг 2: дописываем 25.

\(45\cdot 45 = 2025\)

8) Быстрое умножение на 11.

Умножим 53 на 11.

Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8

Шаг 2 — Помещаем результат между двумя цифрами двузначного числа: 583

\(53 \cdot 11 = 583\)

Умножим 59 на 11.

Шаг 1:  5 + 9 = 14

Но сумма 5 + 9 = 14 больше 10. Значит, увеличиваем первую цифру результата на 1. Получим: 5 + 1 = 6. Это второй шаг.

Шаг 3: Четверку помещаем между цифрами 6 и 9.

\(59\cdot 11 = 649\)

Теперь приемы решения задач по геометрии. Полезно знать:

9) Пифагоровы тройки – это тройки чисел, являющихся сторонами прямоугольного треугольника. Вот несколько таких троек:

Здесь a и b – катеты, с – гипотенуза.

10)  Квадрат.

Диагональ квадрата  \(d=\sqrt{2}\), где а – сторона квадрата.

11) Площадь равностороннего треугольника.

\(S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

12) Площадь трапеции. \(S=mh\), где \(m\)- средняя линия.