Стандартная запись числа. Стандартный вид числа

Стандартным видом числа называется запись вида: \(a\cdot 10^n\).

Здесь число \(a\) принимает значения от \(1\) включительно до \(10\), \(1\leq a<10\).

Число \(n\) – целое. Оно может быть и положительным, и отрицательным. Например, \(3456=3,456\cdot 10^3\).

Подумаем: зачем нам это? Неужели мало привычных чисел: единицы, десятки, сотни, тысячи? В повседневной жизни мы чаще всего пользуемся именно такими числами: единицами, десятками, сотнями, тысячами.

Например, будильник звонит в 7 часов 30 минут. Температура на улице минус 15 градусов. Вы складываете в школьный рюкзак 6 учебников. Проверяете, сколько у вас денег в кошельке. Оказывается, там 2350 рублей. А вот телефон вы забыли зарядить с вечера, и на нем осталось 10% заряда. Где же здесь числа, записанные в стандартном виде? Кажется, что они нам и не нужны.

Правда, иногда мы считаем миллионами. Например, родители покупают квартиру за 11 500 000 рублей. И это 11 миллионов 500 тысяч рублей, опять обошлись без стандартного вида числа.

В обычной жизни мы редко имеем дело с очень большими или очень маленькими величинами. А вот ученые часто с ними работают, и в этом вы убеждались на уроках физики и химии.

Помните, что такое число Авогадро?

Возьмем сосуд объемом 22,4 литра.

Заполним этот сосуд газом при нормальных условиях (температура 0 градусов Цельсия, давление 1 атмосфера).

Оказывается, что в этом сосуде будет приблизительно содержаться \(6\cdot 10^{23}\) молекул газа. Или атомов, если газ одноатомный. Это и есть число Авогадро, записанное в стандартном виде.

Такая запись означает, что надо написать 6 и еще 23 нуля.

В 22,4 литрах при нормальных условиях находится 600 000 000 000 000 000 000 000 молекул газа. Однако пользоваться числом с таким большим количеством нулей неудобно, поэтому и записывают числа в стандартном виде.

Когда мы записываем число в виде \(a\cdot 10^n\),  в этой записи \(a\) –  это мантисса числа, \(n\) - порядок числа.

1. Расстояние от Юпитера – одной из планет Солнечной системы – до Солнца равно 778,1 млн км. Как эта величина записывается в стандартном виде?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) \(7,781\cdot 10^{11};\)

2) \(7,781\cdot 10^8;\)

3) \(7,781\cdot 10^{10};\)

4) \(7,781\cdot 10^9.\)

Решение:

\( 1\)  млн \( =10^6\).

\( 778,1\)  млн \( =778,1\cdot 10^6=7,781\cdot 10^2\cdot 10^6=7,781\cdot 10^{2+6}=7,781\cdot 10^8.\)

Ответ: \( 2.\)

2. Какое из следующих чисел является наименьшим?

В ответ укажите номер правильного варианта.

1) \(1,7\cdot 10^{-3};\)

2) \(2,3\cdot 10^{-4};\)

3) \(4,5\cdot 10^{-3};\)

4) \(8,9\cdot 10^{-4}.\)

Решение:

Сначала сравним порядок, \( 10^{-3}>10^{-4}\) . Значит,чтобы число было наименьшим, степень выбираем \(10^{-4}\). Это варианты под номерами 2 и 4.

Теперь сравним мантиссы этих вариантов. \(2,3<8,9\), следовательно \(2,3\cdot 10^{-4}<8,9\cdot 10^{-4}.\)

Ответ: \(2.\)

3. В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет дальше всех от Солнца?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) Марс;

2) Меркурий;

3) Нептун;

4) Сатурн.

Решение:

Дальше всех от Солнца та, что на самом большом расстоянии. Сравнив порядки чисел, видим, что Нептун и Сатурн имеют наибольший порядок. Значит они дальше всех от Солнца.

Теперь выберем, какая из них дальше, сравнив мантиссы чисел. \(4,497>1,427\), значит Нептун дальше всех от Солнца.

Ответ: \(3.\)

4. Площадь территории Австралии составляет \(7680\)  тыс. км\( ^{2}\). Как эта величина записывается в стандартном виде?

1) \(7,680\cdot 10^7\)  км\( ^{2};\)

2) \(7,680\cdot 10^6\)  км\( ^{2};\)

3) \(7,680\cdot 10^5\)  км\( ^{2};\)

4) \(7,680\cdot 10^4\)  км\( ^{2}.\)

Решение:

Мантисса числа должна принадлежать промежутку \([1;10)\).

\(7680\)  тыс.\( =7,68\cdot10^3\)  тыс.\( =7,68\cdot10^3\cdot10^3=7,68\cdot10^6\).

Ответ: \(2.\)

5. Найдите значение выражения \(0,007\cdot 7\cdot 700\).

Решение:

Для удобства представим числа в стандартном виде:

\(0,007=7\cdot 10^{-3};\)

\(700=7\cdot 10^2.\)

А теперь перемножим:

\(7\cdot 10^{-3}\cdot 7\cdot 7\cdot 10^2=343\cdot 10^{-3}\cdot 10^2=343\cdot 10^{-3+2}=343\cdot 10^{-1}=34,3.\)

Ответ: \(34,3.\)