Степень с целым показателем, ОГЭ

Степень с целым показателем.

Стандартный вид числа. Преобразование выражений.

Степенью называется выражение вида \(a^c\).

Число \(a\) – основание степени, число \(c\) – показатель степени.

По определению, \(a^1=a\).

\(a^2=a\cdot a\). Число \(a\) умножается само на себя. Можно сказать по-другому: число возводится в квадрат.

\(a^3=a\cdot a\cdot a\). Число \(a\) умножается само на себя два раза. Другими словами, возводится в куб.

Что будет, если показатель степени равен 4 или 5?

\(a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a;\)

\(a^5=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a.\)

Мы видим, что количество множителей равно показателю степени.

Как вы думаете, сколько раз число \(a\) надо умножить само на себя, чтобы получить \(a^{25}\)?

Все это были примеры степеней с натуральным, то есть целым положительным показателем.

Посмотрим, что будет, когда показатель степени равен нулю.

По определению, \(a\) в нулевой степени равно 1:

\(a^0=1.\)

Это правило справедливо, если \(a\neq 0\). 

Выражение \(0^0\) – не определено в математике.

Запомним: если любое число, не равное нулю, возвести в нулевую степень, получим 1.

Например,

\(8^0=1.\)

\(\left(\displaystyle \frac{1}{7}\right )^0= 1.\)

\(\pi^0 = 1.\)

\((-1)^0=1.\)

Показатель степени может быть также и отрицательным. При возведении числа в отрицательную степень получаем дробь, где в числителе 1, а в знаменателе степень сположительным показателем.

Например:

\(a^{-1}=\displaystyle \frac{1}{a^1}=\frac{1}{a}.\)

\(a^{-5}=\displaystyle \frac{1}{a^5}.\)

\(a^{-n}=\displaystyle \frac{1}{a^n}.\) 

\(3^{-2}=\displaystyle \frac{1}{3^2}=\frac{1}{3\cdot 3}=\frac{1}{9}.\) 

Конечно, знаменатель не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Запомним: при возведении дроби в минус первую степень дробь переворачивается.

Например,

\( \left(\displaystyle \frac{3}{8}\right)^{-1}=\displaystyle \frac{8}{3}.\) 

\( \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{-1}=\displaystyle \frac{2}{1}=2.\)  

Вот примеры выражений с отрицательными степенями:

\( 9^{-5}=\displaystyle \frac{1}{9^5}.\) 

\( \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{-1}=\left(\displaystyle \frac{3}{1}\right)^1=3^1=3.\)  

\( \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{-2}=\left(\displaystyle \frac{3}{1}\right)^2=3^2=3\cdot 3=9.\)  

Получается, что при возведении дроби в отрицательную степень необходимо эту дробь сначала перевернуть и получить положительную степень. А потом продолжить преобразования.

Повторим правила действий со степенями:

\(  a^n a^m=a^{m+n}\)   - при перемножении степеней показатели складываются.

\(  \frac{a^n}{a^m} =a^{n-m}\)   - при делении степени на степень показатели вычитаются.

\(  (a^m )^n=(a^n )^m=a^{mn}\)   - при возведении степени в степень показатели перемножаются.

\(  a^n b^n=(ab)^n.\)  

\(  \displaystyle \frac{a^n}{b^n} =\left(\displaystyle \frac{a}{b}\right)^n.\)   

Посмотрим, как эти правила применяются в заданиях ОГЭ.

1. Вычислите: \(\displaystyle \frac{c^{12}\cdot c^{9}}{c^{21}}.\)   

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней.

При перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

\(\displaystyle \frac{c^{12}\cdot c^{9}}{c^{21}}= \frac{c^{12+9}}{c^{21}}=\frac{c^{21}}{c^{21}}=c^{21-21}=c^0=1.\)  

Ответ: \(1.\)

2. Чему равно значение выражения \(\displaystyle\frac{a^{-4}\cdot a^{-3}}{a^{-5}}\) при \(a=\displaystyle\frac{1}{3}\)?

Решение:

\(\displaystyle\frac{a^{-4}\cdot a^{-3}}{a^{-5}}=a^{-4+(-3)-(-5)}=a^{-2}.\) 

При \(a=\displaystyle\frac{1}{3}\) получим \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^2=9.\)

Обратите внимание: сначала мы упрощаем выражение и только после этого подставляем числовое значение.         

Ответ:  \(9.\)

3. Найти значение выражения \(\displaystyle \frac{a^{-10}\cdot a^4}{a^{-3}}\)  при \(a=5\).

Решение:

Упростим выражение, применяя правила умножения степеней с одинаковыми основаниями

\(\displaystyle \frac{a^{-10+4}}{a^{-3}}=a^{-10+4+3}=a^{-3}.\) 

В полученное выражение подставим \(a=5\): 

\(a^{-3}=5^{-3}=\displaystyle \frac{1}{(5)^3}=\displaystyle \frac{1}{125}=0,008.\) 

Ответ: \(0,008.\)

4. Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{11a^6 b^3-(3a^2 b)^3}{4a^6 b^6}\) при \(b=2\).

Решение:  

Это более сложная задача. Применим правила действий со степенями и приведем подобные.

\(\displaystyle \frac{11a^6 b^3-(3a^2 b)^3}{4a^6 b^6}=\frac{11a^6 b^3-27a^6 b^3}{4a^6 b^6}=\displaystyle \frac{-16a^6 b^3}{4a^6 b^6}=-\frac{4}{b^3}.\) 

При \(b=2\) получим \(\displaystyle -\frac{4}{2^3}=-\frac{4}{8}=-0,5\).

Ответ: \(-0,5.\)

5. Расположите в порядке убывания: \(\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^{-3}; \; \displaystyle \frac{7}{8}; \; \left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^{-3}.\)

Решение:

Запишем выражение как степени с положительным показателем и сравним.

\(\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^{-3}=\left(\displaystyle\frac{8}{7}\right)^3.\) Так как \(\left(\displaystyle\frac{8}{7}\right)>1\), то \(\left(\displaystyle\frac{8}{7}\right)^3>1.\) 

\(\left(\displaystyle\frac{8}{7}\right)^{-3}=\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^3.\)  Так как \(\displaystyle \frac{7}{8}<1\), то \(\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^3<1.\)

Сравним \(\displaystyle\frac{7}{8}\) и \(\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^3. \;\) Для этого оценим их разность:

\(\displaystyle \frac{7}{8}-\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^3=\displaystyle\frac{7}{8}-\frac{7^3}{8^3}=\frac{7\cdot 8^2-7^3}{8^3}=\frac{7(8^2-7^2)}{8^3}=\frac{7(64-49)}{8^3}>0\), значит \(\displaystyle\frac{7}{8}>\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^3.\) 

Получим: \(\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^3<\displaystyle \frac{7}{8}<\left(\displaystyle\frac{8}{7}\right)^3\), поэтому \( \left(\displaystyle\frac{8}{7}\right)^{-3}; \; \displaystyle \frac{7}{8}; \; \left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^{-3}.\)

Ответ: \(\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^{-3}; \; \displaystyle \frac{7}{8}; \; \left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^{-3}.\)