Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ОГЭ по математике > Степень с целым показателем

Степень с целым показателем

Степень с целым показателем.

Стандартный вид числа. Преобразование выражений.

Степенью называется выражение вида $a^c$ .

Число $a$ – основание степени, число $c$ – показатель степени.

По определению, $a^1=a$ .

$a^2=a\cdot a$ . Число $a$ умножается само на себя. Можно сказать по-другому: число возводится в квадрат.

$a^3=a\cdot a\cdot a$ . Число $a$ умножается само на себя три раза. Другими словами, возводится в куб.

Что будет, если показатель степени равен 4 или 5?

$a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a$

$a^5=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$

Мы видим, что количество множителей равно показателю степени.

Как вы думаете, сколько раз число $a$ надо умножить само на себя, чтобы получить $a^{25}$ ?

Все это были примеры степеней с натуральным, то есть целым положительным показателем.

Посмотрим, что будет, когда показатель степени равен нулю.

По определению, $a$ в нулевой степени равно 1:

$a^0=1.$

Это правило справедливо, если $a\neq 0$ .

Выражение $0^0$ – не определено в математике.

Запомним: если любое число, не равное нулю, возвести в нулевую степень, получим 1.

Например,

$8^0=1$

$(\frac{1}{7})^0= 1.$

$\pi^0 = 1.$

$(-1)^0=1$

Показатель степени может быть также и отрицательным. При возведении числа в отрицательную степень получаем дробь, где в числителе 1, а знаменателе число в положительной степени.

Например:

$a^{-1}=\frac{1}{a^1}=\frac{1}{a}$

$a^{-5}=\frac{1}{a^5}$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3\cdot 3}=\frac{1}{9}$

Конечно, знаменатель не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Запомним: при возведении дроби в минус первую степень дробь переворачивается.

Например,

$(\frac{3}{8})^{-1}=\frac{8}{3}$

$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{2}{1}=2$

Вот примеры выражений с отрицательными степенями:

$9^{-5}=\frac{1}{9^5}$

$(\frac{1}{3})^{-1}=(\frac{3}{1})^1=3^1=3$

$(\frac{1}{3})^{-2}=(\frac{3}{1})^2=3^2=3\cdot 3=9$

Получается, что при возведении дроби в отрицательную степень необходимо эту дробь сначала перевернуть и получить положительную степень. А потом продолжить преобразования.

Повторим правила действий со степенями:

$a^n a^m=a^{m+n}$ - при перемножении степеней показатели складываются

$\frac{a^n}{a^m} =a^{n-m}$ - при делении степени на степень показатели вычитаются

$(a^m )^n=(a^n )^m=a^{mn}$ - при возведении степени в степень показатели перемножаются

$a^n b^n=(ab)^n$

$\frac{a^n}{b^n} =(\frac{a}{b})^n$

Посмотрим, как эти правила применяются в заданиях ОГЭ.

1. Вычислите:

$\frac{c^{12}\cdot c^{9}}{c^{21}}$

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней.

При перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

$\frac{c^{12}\cdot c^{9}}{c^{21}}= \frac{c^{12+9}}{c^{21}}=\frac{c^{21}}{c^{21}}=c^{21-21}=c^0=1$

Ответ: 1

2. Чему равно значение выражения $\frac{a^{-4}\cdot a^{-3}}{a^{-5}}$ при $a=\frac{1}{3}$ ?

Решение:

$\frac{a^{-4}\cdot a^{-3}}{a^{-5}}=a^{-4+(-3)-(-5)}=a^{-2}$

При $a=\frac{1}{3}$ получим $(\frac{1}{3})^{-2}=3^2=9$

Обратите внимание: сначала мы упрощаем выражение и только после этого подставляем числовое значение.

Ответ: 9

3. Найти значение выражения

$\frac{a^{-10}\cdot a^4}{a^{-3}}$ при $a=5$ .

Решение:

Упростим выражение, применяя правила умножения степеней с одинаковыми основаниями

$\frac{a^{-10+4}}{a^{-3}}=a^{-10+4+3}=a^{-3}$

В полученное выражение подставим $a=5$

$a^{-3}=5^{-3}=\frac{1}{(5)^3}=\frac{1}{125}=0,008$

Ответ: 0,008

5. Найдите значение выражения $\frac{11a^6 b^3-(3a^2 b)^3}{4a^6 b^6}$ при $b=2$ .

Решение:

Это более сложная задача. Применим правила действий со степенями и приведем подобные.

$\frac{11a^6 b^3-(3a^2 b)^3}{4a^6 b^6}=\frac{11a^6 b^3-27a^6 b^3}{4a^6 b^6}=\frac{-16a^6 b^3}{4a^6 b^6}=-\frac{4}{b^3}$

При $b=2$ получим $-\frac{4}{2^3}=-\frac{4}{8}=-0,5$ .

Ответ: -0,5

6. Расположите в порядке возрастания: $(\frac{7}{8})^{-3}$ ; $\frac{7}{8}$ ; $(\frac{8}{7})^{-3}$ .

Решение:

Запишем выражение как степени с положительным показателем и сравним.

$(\frac{7}{8})^{-3}=(\frac{8}{7})^3$ . Так как $(\frac{8}{7})>1$ , то $(\frac{8}{7})^3>1$

$(\frac{8}{7})^{-3}=(\frac{7}{8})^3.$ Так как $\frac{7}{8}<1$ , то $(\frac{7}{8})^3<1$

Сравним $\frac{7}{8}$ и $(\frac{7}{8})^3$ . Для этого оценим их разность

$\frac{7}{8}-(\frac{7}{8})^3=\frac{7}{8}-\frac{7^3}{8^3}=\frac{7\cdot 8^2-7^3}{8^3}=\frac{7(8^2-7^2)}{8^3}=\frac{7(64-49)}{8^3}>0$ , значит $\frac{7}{8}>(\frac{7}{8})^3$

Получим: $(\frac{7}{8})^3<\frac{7}{8}<(\frac{8}{7})^3$ , поэтому $(\frac{8}{7})^{-3};\frac{7}{8};(\frac{7}{8})^{-3}$ .

Ответ: $(\frac{8}{7})^{-3};\frac{7}{8};(\frac{7}{8})^{-3}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Степень с целым показателем» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 15.09.2023

Степень с целым показателем

Это полезно