Текстовые задачи на движение и квадратные уравнения

Текстовые задачи. Квадратные уравнения и подбор целого корня.

Текстовые задачи на движение в вариантах ОГЭ часто сводятся к квадратным уравнениям.

Два автомобиля едут по дороге, лодка плывет по течению, а затем против течения, велосипедист обгоняет пешехода.

Общая формула: \(S=v\cdot t\), то есть расстояние = скорость ∙ время.

Из этой формулы можно выразить скорость \(v=\displaystyle \frac{S}{t}\) или время \(t=\displaystyle \frac{S}{v}\).

Запомните, что в качестве переменной \(x\) удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Внимательно читаем условие. В нем уже все есть. Да и вообще в любом вопросе всегда содержится ответ :-)

Запомним правила решения задач на движение:

Вот по этому алгоритму мы и будем решать задачи.

1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Что обозначить за \(x\)? Очевидно, скорость велосипедиста – ведь ее и надо найти. Автомобилист проезжает на 40 километров в час больше. Значит, скорость автомобилиста равна \(x+40\).

Нарисуем таблицу.

В задачах на движение таблица у нас всегда будет одинаковая. В столбиках пишем «скорость, время, расстояние». В строчках – ситуации, о которых говорится в задаче.

Сразу внесем в таблицу расстояние. Из условия задачи известно, что и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести в таблицу скорость – она равна \(x\) и \(x+40\) для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Теперь заполним графу «время».

Найдем его по формуле: \(t=\displaystyle \frac{S}{v}\). Для велосипедиста получим \(t_1=\displaystyle \frac{50}{x}\), для автомобилиста \(t_2=\displaystyle \frac{50}{x+40}\) и тоже запишем в таблицу.

Вот что получается:

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже – значит, времени он затратил больше.

Это значит, что \(t_1\) на четыре больше, чем \(t_2\), то есть \(t_2+4=t_1.\)

\(\displaystyle \frac{50}{x+40}+4=\frac{50}{x}.\)

Смотрите, как легко решается это уравнение: \(\displaystyle \frac{50}{x+40}-\frac{50}{x}=4.\)

В левой части уравнения приводим дроби к одному знаменателю. Правую часть пока не трогаем. Общий знаменатель равен \( x(x+40)\).

Первую дробь домножим на \( (x+40)\) , то есть и числитель и знаменатель умножим на \((x+40)\) , вторую – на \(x\)  (и числитель и знаменатель).

Получим:

\(\displaystyle \frac{50(x+40)-50x}{x(x+40)}=4;\)

\(\displaystyle \frac{50x+2000-50x}{x(x+40)}=4;\)

\(\displaystyle \frac{2000}{x(x+40)}=4.\)

Разделим обе части нашего уравнения на 4. Очевидно, оно станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать. И получают сложные уравнения и шестизначные дискриминанты.

\(\displaystyle \frac{500}{x(x+40)}=1.\)

Умножим обе части уравнения на \(x(x+40)\).

Получим: \(x(x+40)=500\)

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть: \( x^2+40x-500=0\)

Получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\). Решается оно стандартно.

Сначала находим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\), а затем корни по формуле:

\(x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\)

В нашем уравнении \( a=1, \ b=40, \ c=-500.\)

Найдем дискриминант \(D = 1600 + 2000 = 3600\) и корни: \(x_1=10, \ x_2=-50.\)

Ясно, что \( x_2\)  не подходит по смыслу задачи, так как скорость велосипедиста не может быть отрицательной.

Ответ: 10.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна \( x\). Тогда его скорость на обратном пути равна \(x+3\) . По условию задачи, расстояние между городами А и В – 70 км, значит, в графе «расстояние» в обеих строчках пишем одно и то же – 70 км. Осталось записать время.

Поскольку \(t=\displaystyle \frac{S}{v}\), то на путь из А в В велосипедист затратит время \(t_1=\displaystyle \frac{70}{x}\), а на обратный путь время \( t_2=\displaystyle \frac{70}{x+3}\).

На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из А в В. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на 3 часа меньше.

И сейчас – ключ к решению текстовых задач. Простой прием, который поможет вам избежать ошибок. Заполнив таблицу, спрашиваем себя: Какое время больше? \(t_2\) или \(t_1\)?

У нас \(t_2\) на три меньше, чем \(t_1.\)

Значит, \(t_1\) на 3 больше. Из большего вычитаем меньшее, получаем разницу. Эту фразу можно запомнить наизусть!

\(\displaystyle \frac{70}{x}-\frac{70}{x+3}=3.\)

Приводим дроби к одному знаменателю:

\(\displaystyle \frac{70(x+3)-70x}{x(x+3)}=3;\)

\(\displaystyle \frac{70\cdot 3}{x(x+3)}=3.\)

Делим обе части уравнения на 3, получаем: \(\displaystyle \frac{70}{x(x+3)}=1.\)

Умножим обе части уравнения на \(x(x+3)\), раскроем скобки и всё соберем в левой части.

\(x^2+3x-70=0.\)

Находим дискриминант. Он равен \(9+4 \cdot 70 = 289\).

Найдем корни уравнения: \(x_1 = 7\). Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ \(x_2=-10\) не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 7.

Следующий тип – задачи о движении по воде. Например, теплоход, катер или моторная лодка плывет по речке, в которой есть течение.

Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Запомним, что собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению к собственной скорости прибавляется скорость течения. Течение помогает. Вниз по реке плыть легче, чем вверх.

Скорость судна при движении по течению реки равна сумме собственной скорости судна и скорости течения реки.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. В этом случае скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

Скорость при движении против течения равна разности собственной скорости судна и скорости течения.

В текстовых задачах считается, что плот, в отличие от катера, может двигаться только со скоростью течения. На плоту нет мотора, и грести веслами на нем трудно.

3. Моторная лодка прошла против течения реки 135 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Начнем с таблицы и составления уравнения.

Скорость течения обозначим за \(x\). Тогда по течению лодка плывет со скоростью \(12+x\). Течение помогает, к собственной скорости лодки прибавляется скорость течения.

Скорость движения против течения равна \(12-x\). Течение мешает, относит лодку назад.

Нарисуем таблицу. В столбиках – скорость, время и расстояние. В строчках – ситуации, о которых говорится в задаче. Сначала движение по течению, потом против течения.

Пользуемся формулой: \(S=v\cdot t\). Из этой формулы выражаем время: \(t=\displaystyle \frac{S}{v}\).

	\(v\)	\(t\)	\(S\)
Против течения	\(12-x\)	\(\displaystyle \frac{135}{12-x}\)	\(135\)
По течению	\(12+x\)	\(\displaystyle \frac{135}{12+x}\)	\(135\)

Известно, что по течению лодка плыла на 6 часов меньше, чем против течения. Это логично – по течению быстрее.

Составив таблицу, посмотрите на нее внимательно. Вот в колонке «время» у yас записаны выражения для времени движения против течения и по течению. Спросите себя: какое время больше? – Конечно, время движения против течения. Потому что против течения лодка идет медленнее, времени затратит больше.

Из большего вычитаем меньшее – получаем разницу. (Эту фразу можно выучить наизусть).

Значит, уравнение выглядит так: \(\displaystyle \frac{135}{12-x}-\frac{135}{12+x}=6.\)

Легко? Да, конечно. Но старшеклассники часто делают здесь ошибки. Они вычитают из меньшего большее, а потом получают отрицательный дискриминант и говорят: «Не решается».

Сократим обе части уравнения на 3.

\(\displaystyle \frac{45}{12-x}-\frac{45}{12+x}=2.\)

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю. И обратите внимание: не спешим умножать 45 на 12. Зачем лишние действия?

\(\displaystyle \frac{45\cdot 12 +45x-45\cdot 12+45x}{(12-x)\cdot (12+x)}=2.\)

Приведем подобные и сократим обе части на 2.

\(\displaystyle \frac{45x}{144-x^2}=1;\)

\(x^2+45x-144=0.\)

Мы получили квадратное уравнение. Посмотрим, как проще посчитать его дискриминант.

Потому что, чем проще вычисления, тем больше времени вы сэкономите на экзамене.

\(D=45^2+4\cdot 144=9\cdot (9\cdot 5^2+4\cdot 16)=9\cdot (225+64)=9\cdot 289=3^2\cdot 17^2;\)

\(\sqrt{D}=3\cdot 17=51;\)

\(x=\displaystyle \frac{-45\pm 51}{2}.\)

Выбираем положительный корень: \(x=3.\)

Ответ: 3

4. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 234 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Начинаем с таблицы. Пусть \(x\) – скорость баржи на пути из А в В. Расстояние между А и В равно 234 километра. Из формулы \(S=v\cdot t\) легко выразить время: \(t=\displaystyle \frac{S}{v}=\frac{234}{x}.\)

На обратном пути скорость на 4 км/ч больше, расстояние то же. Время, затраченное на путь из В в А, равно \(\displaystyle \frac{234}{x+4}\).

	\(v\)	\(t\)	\(S\)
Из А в В	\(x\)	\(\displaystyle \frac{234}{x}\)	234
Из В в А	\(x+4\)	\(\displaystyle \frac{234}{x+4}\)	234

Сразу поясним: здесь речь идет о времени, когда баржа находилась в движении. В условии задачи говорится, что на обратный путь баржа затратила столько же времени, сколько на путь из А в Б. При этом 8 часов баржа стояла, а время, которое она плыла, равно \(\displaystyle \frac{234}{x+4}\).

Запишем, что время, затраченное на путь из А в Б и на обратный путь – одинаково.

\(\displaystyle \frac{234}{x}=\frac{234}{x+4}+8.\)

Соберем слагаемые, содержащие \(x\), в левой части уравнения.

\(\displaystyle \frac{234}{x}-\frac{234}{x+4}=8.\)

Сократим обе части уравнения на 2.

\(\displaystyle \frac{117}{x}-\frac{117}{x+4}=4;\)

\(\displaystyle \frac{117\cdot 4}{x(x+4)}=4;\)

\(\displaystyle \frac{117}{x^2+4x}=1;\)

\(x^2+4x-117=0;\)

\(D=484, \ \sqrt{D}=22;\)

\(x=\displaystyle \frac{-4\pm 22}{2}, \ x>0;\)

\(x=9.\)

5. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Как всегда, начинаем с таблицы. Пусть \(x\) – скорость первого теплохода, \(x+4\) – скорость второго.

	\(v\)	\(t\)	\(S\)
первый	\(x\)	\(\displaystyle \frac{192}{x}\)	192
второй	\(x+4\)	\(\displaystyle \frac{192}{x+4}\)	192

Составим уравнение, учитывая, что второй теплоход был в пути на 4 часа меньше, чем первый.

\(\displaystyle \frac{192}{x}-\frac{192}{x+4}=4;\)

\(\displaystyle \frac{48}{x}-\frac{48}{x+4}=1.\)

В левой части уравнения приводим дроби к одному знаменателю. Правую часть пока не трогаем. Общий знаменатель равен \(x(x+4)\).

Первую дробь домножим на \((x+4)\), то есть и числитель и знаменатель умножим на \((x+4)\), вторую – на \(x\) (и числитель и знаменатель).

Получим:

\(\displaystyle \frac{48(x+4)-48x}{x(x+4)}=1;\)

\(\displaystyle \frac{48x+192-48x}{x(x+4)}=1;\)

\(\displaystyle \frac{192}{x(x+4)}=1.\)

Умножим обе части уравнения на \(x(x+4)\).

Получим: \(x(x+4)=192.\)

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть: \(x^2+4x-192=0.\)

Посчитаем дискриминант: \(D=4^2+4\cdot 192=16+768=784.\)

Вычислим корни уравнения:

\(x=\displaystyle \frac{-4\pm 28}{2}; x>0;\)

\(x=12.\)

Ответ: 12

А теперь самое интересное: ломаем шаблоны!

Мы узнали, как решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений. Есть и другой способ – подбор целого положительного корня. Он работает не во всех заданиях ОГЭ. Но в 90% задач он поможет вам быстро найти ответ или проверить его.

6. Посмотрим на задачу 1, про велосипедиста. В ней мы пришли к уравнению:

\(\displaystyle \frac{16}{x-8}-\frac{16}{x}=1.\)

Предположим, что \(x\) – целое положительное число.

И что числа \(\displaystyle \frac{16}{x-8}\) и \(\displaystyle \frac{16}{x}\) тоже целые и положительные.

Другими словами, 16 делится на \(x\) и на \(x-8\).

Разность двух делителей числа 16 равна единице. Если \(\displaystyle \frac{16}{x-8}=2\), а \(\displaystyle \frac{16}{x}=1\), то \(x=16\). Это ответ. Мы подобрали целый положительный корень!

Конечно, это читерство. Мы пользуемся тем, что в текстовой задаче ОГЭ ответ должен получиться только один. И что он часто бывает целым числом.

7. Еще раз посмотрим на задачу 4, про баржу. В ней мы получили квадратное уравнение:

\(\displaystyle \frac{117}{x}-\frac{117}{x+4}=4.\)

Заметим, что \(117=13\cdot 9\). Мы видим, что разность двух делителей числа 117 равна четырем. Подберем целый корень уравнения: \(x=9\), готово!

Часто в задачах ОГЭ на движение и работу ответами являются целые числа, и их легко подобрать.

8. В задаче 5 тоже можно подобрать целый положительный корень уравнения.

\(\displaystyle \frac{48}{x}-\frac{48}{x+4}=1.\)

Разность двух делителей числа 48 равна 1. Например, \(4- 3 = 1\), и если \(x=12\), то уравнение обращается в истинное равенство. Подобрали ответ!

Мы показали вам «читерский» способ решения задач. Конечно, когда вы оформляете решение текстовой задачи на ОГЭ, нужно составить и решить квадратное уравнение, первый способ. А второй, «читерский» способ отлично подойдет для проверки ответа.