Задачи на работу в вариантах ОГЭ по математике решаются по одной-единственной формуле: \(A=P\cdot t\).
Здесь \(A\) – работа, \(t\) – время, а величина \(p\) – производительность (по смыслу является скоростью работы). Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени.
Мини-пекарня печет булочки. Количество булочек, испеченных за день, – это производительность пекарни.
Художник в мастерской расписывает ёлочные шарики. Его производительность – количество расписанных шариков в день.
Бригада строит тоннель метро. Производительность бригады – сколько метров тоннеля построено за месяц.
Труба наполняет бассейн. Количество литров воды в минуту также можно назвать производительностью трубы.
Правила решения таких задач очень просты.
1. \(A = p\cdot t,\) то есть работа = производительность ∙ время. Из этой формулы легко найти \(t\) или \(p\).
2. Если объем работы не важен и в задаче нет данных, позволяющих его найти, то работа принимается за единицу.
Например, построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, булочек, страниц или построенных домов – работа как раз и равна этому количеству.
3. В качестве переменной удобно взять именно производительность.
4. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода...) – их производительности складываются.
Соберем в одну таблицу правила решения задач на работу.
1. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Решение:
Пусть \(x\) деталей в час – производительность второго рабочего, \(x+1\) – производительность первого.
Запишем данные в таблицу.
|
|
p |
t |
A |
|
первый |
\(x+1\) |
\(\displaystyle \frac{99}{x+1}\) |
99 |
|
второй |
\(x\) |
\(\displaystyle \frac{110}{x}\) |
110 |
\(\displaystyle \frac{99}{x+1}+2=\frac{110}{x}.\)
Время, затраченное первым рабочим, на 2 часа меньше, чем время, затраченное вторым.
Составим уравнение: \(\displaystyle\frac{110}{x}-\frac{99}{x+1}=2.\)
В левой части уравнения приводим дроби к одному знаменателю. Правую часть пока не трогаем. Общий знаменатель равен \(x(x+1)\).
Первую дробь домножим на \((x+1)\), то есть и числитель и знаменатель умножим на \((x+1)\), вторую – на \(x\) (и числитель и знаменатель).
Получим:
\(\displaystyle\frac{110(x+1)-99x}{x(x+1)}=2;\)
\(\displaystyle\frac{110x+110-99x}{x(x+1)}=2;\)
\(\displaystyle\frac{11x+110}{x(x+1)}=2.\)
Умножим обе части уравнения на \(x(x+1)\).
Получим: \(11x+110=2x(x+1).\)
Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть: \(2x^2-9x-110=0.\)
Посчитаем дискриминант: \(D=9^2+4\cdot 2\cdot 110=81+880=961.\)
Вычислим корни уравнения:
\(x=\displaystyle\frac{9\pm 31}{4}, \ x>0;\)
\(x=10.\)
Ответ: 10
2. На изготовление 575 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
Решение:
Составим таблицу:
|
|
p |
t |
A |
|
1 рабочий |
\(x\) |
\(\displaystyle \frac{575}{x}\) |
575 |
|
2 рабочий |
\(x-1\) |
\(\displaystyle \frac{600}{x-1}\) |
600 |
\(\displaystyle \frac{600}{x-1}-\frac{575}{x}=2;\)
\(600x-575(x-1)=2x(x-1);\)
\(2x^2-27x-575=0;\)
\(D=729+4\cdot 2\cdot 575=5329.\)
Как извлечь квадратный корень из четырёхзначного числа?
\(70^2=4900\); \(80^2=6400\)
Значит, в квадрат возвели двухзначное число; первая цифра которого 7.
Число 5329 оканчивается на 9. Значит, в квадрат возводили число, оканчивающееся на 3 или на 7.
Проверим: \(73^2=5329.\)
\(x=\displaystyle \frac{27\pm 73}{4}; x>0\) значит, \(x=\displaystyle \frac{100}{4}=25\).
Ответ: 25
3. Плиточник должен уложить 175 м\( ^{2}\) плитки. Если он будет укладывать на 10 м\( ^{2}\) в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Решение:
Путь производительность плиточника (по плану) м\(^{2}\)/день. Составим таблицу:
|
|
|
|
|
|
По плану |
|
\(\displaystyle \frac{175}{x}\) |
175 |
|
Если работает быстрее |
\(x+10\) |
\(\displaystyle \frac{175}{x+10}\) |
175 |
Составим уравнение: \(t_1-t_2=2;\)
\(\displaystyle \frac{175}{x}-\frac{175}{x+10}=2;\)
\(\displaystyle \frac{175x+1750-175x}{x^2+10x}=2;\)
\(1750=2x^2+20x;\)
\(x^2+10x-875=0.\)
Надо ли считать дискриминант? Можно, но не обязательно. Вспомним теорему Виета:
Если \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), то \(x_1+x_2=-\displaystyle \frac{b}{a}, \ x_1 x_2= \displaystyle \frac{c}{a}\).
По теореме Виета находим корни: \(\left[\begin{array}{ccc}
x=25, \\
x=-35.\end{array}\right.\)
Сумма этих чисел равна -10, а произведение 875.
Так как производительность – неотрицательная величина, второй корень не подходит, значит, мастер планировал укладывать 25 квадратных метров плитки в день.
Ответ: 25
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
\(x\)