Текстовые задачи ОГЭ, сводящиеся к системе линейных уравнений

Текстовые задачи, сводящиеся к системе линейных уравнений.

Раньше мы решали текстовые задачи с помощью уравнения, в котором одна неизвестная. Бывает, что текстовые задачи проще решать с помощью системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений:

1) Вводим обозначения для неизвестных величин.

2) Составляем систему линейных уравнений.

3) Решаем полученную систему линейных уравнений.

4) Используя введенные обозначения, записываем ответ.

Пример 1.  Два одинаковых кабачка и один патиссон весят вместе 1900 г, а два таких же патиссона и один кабачок весят вместе 2750 г. Определить массу одного патиссона. Ответ выразить в г.

Решение:

Обозначим массу кабачка за \(x\) г, массу патиссона – за \(y\) г, тогда два кабачка весят \(2x\) г, а два патиссона – \(2y\) г.

Составим систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
2x+y=1900, \\
x+2y=2750.\end{matrix}\right.\)

Решим данную систему способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную \(y\), и подставим полученное для нее выражение вместо \(y\) во второе уравнение. Получим систему: \(\left\{\begin{matrix}
y=1900-2x, \\
x+2(1900-2x)=2750.\end{matrix}\right.\)

Решим отдельно второе уравнение системы. Получим:
\(-3x=-1050\), отсюда \(x=350\). Подставим это значение в выражение для \(y\), \(y=1900-2\cdot 350=1200\).

Масса одного кабачка 350 г, масса одного патиссона 1200 г.

Ответ: 1100г.

Пример 2. Найти два числа, если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности, а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности.

Решение:

Пусть \(x\) – первое число, \(y\) - второе число, тогда \(x+y\) – сумма чисел, \(x-y\) – разность. По условию задачи составим систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
2(x+y)=(x-y)+5, \\
3(x+y)=(x-y)+8.\end{matrix}\right.\)

Упростим уравнения в системе, приведем их к линейному виду.

\(\left\{\begin{matrix}
2x+2y=x-y+5,\\
3x+3y=x-y+8,\end{matrix}\right.\) и далее \(\left\{\begin{matrix}
x+3y=5, \\
2x+4y=8.\end{matrix}\right.\)

Решим систему способом сложения. Разделим на (-2) второе уравнение системы: \(\left\{\begin{matrix}
x+3y=5, \\
-x-2y=-4.\end{matrix}\right.\)

Сложим оба уравнения: \(x-x+3y-2y=5-4\).

Решим полученное уравнение. Находим \(y=1\). Подставляя значение \(y=1\) в первое уравнение системы \(\left\{\begin{matrix}
x+3y=5, \\
2x+4y=8,\end{matrix}\right.\) получим \(x+3\cdot 1=5\), отсюда \(x=2\).

Возвращаемся к обозначениям: \(x\) – первое число, \(y\) – второе. Значит, первое число равно 2, второе равно 1.

Ответ:  2 и 1.

Пример 3. Группа из 16 туристов отправилась на 6 лодках в водный поход. Известно, что часть лодок были двухместные, часть — трёхместные. Определить количество двухместных и трехместных лодок, если известно, что все лодки были заполнены целиком.

Решение:

Обозначим черех \(x\) количество двухместных лодок, а через \(y\) - количество трехместных лодок. По условию, количество лодок равно 6. Составим первое уравнение \(x+y=6\).

В двухместных лодках сидят \(2x\) туристов, в трехместных лодках сидят \(3y\) туристов. По условию, в водный поход отправились 16 туристов. Второе уравнение: \(2x+3y=16\).

Получили систему линейных уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
x+y=6, \\
2x+3y=16.\end{matrix}\right.\)

Решим ее способом сложения. Умножим первое уравнение на (-2), получим: \(\left\{\begin{matrix}
-2x-2y=-12, \\
2x+3y=16.\end{matrix}\right.\)

Сложим почленно уравнения системы. Получим уравнение с одной переменной: \(-2x+2x-2y+3y=-12+16.\)

Упростив, найдем \(y=4\).

Подставим это значение для у в первое уравнение системы \(x+y=6\), получим \(x+4=6\). Находим \(x=2\). Значит, двухместных лодок было 2, а трехместных – 4.

Ответ: 2 двухместные лодки, 4 трехместные лодки.