Текстовые задачи, сводящиеся к системе линейных уравнений

Текстовые задачи, сводящиеся к системе линейных уравнений.

Раньше мы решали текстовые задачи с помощью уравнения, в котором одна неизвестная. Бывает, что текстовые задачи проще решать с помощью системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений:

1) Вводим обозначения для неизвестных величин.

2) Составляем систему линейных уравнений.

3) Решаем полученную систему линейных уравнений.

4) Используя введенные обозначения, записываем ответ.

Пример 1.  Два одинаковых кабачка и один патиссон весят вместе 1900 г, а два таких же патиссона и один кабачок весят вместе 2750 г. Определить массу одного патиссона. Ответ выразить в г.

Решение:

Обозначим массу кабачка за  г, массу патиссона – за  г, тогда два кабачка весят  г, а два патиссона –  г.

Составим систему уравнений:

Решим данную систему способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную , и подставим полученное для нее выражение вместо  во второе уравнение. Получим систему: .

Решим отдельно второе уравнение системы. Получим:
, отсюда . Подставим это значение в выражение для , .

Масса одного кабачка 350 г, масса одного патиссона 1100 г.

Ответ: 1100г.

Пример 2. Найти два числа, если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности, а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности.

Решение:

Пусть  – первое число,  - второе число, тогда  – сумма чисел,  – разность. По условию задачи составим систему уравнений: .

Упростим уравнения в системе, приведем их к линейному виду.

, и далее .

Решим систему способом сложения. Разделим на (-2) второе уравнение системы: .

Сложим оба уравнения: .

Решим полученное уравнение. Находим . Подставляя значение  в первое уравнение системы , получим , отсюда .

Возвращаемся к обозначениям:  – первое число,  – второе. Значит, первое число равно 2, второе равно 1.

Ответ:  2 и 1.

Пример 3. Группа из 16 туристов отправилась на 6 лодках в водный поход. Известно, что часть лодок были двухместные, часть — трёхместные. Определить количество двухместных и трехместных лодок, если известно, что все лодки были заполнены целиком.

Решение:

Обозначим черех  количество двухместных лодок, а через  - количество трехместных лодок. По условию, количество лодок равно 6. Составим первое уравнение .

В двухместных лодках сидят  туристов, в трехместных лодках сидят  туристов. По условию, в водный поход отправились 16 туристов. Второе уравнение: .

Получили систему линейных уравнений: .

Решим ее способом сложения. Умножим первое уравнение на (-2), получим: .

Сложим почленно уравнения системы. Получим уравнение с одной переменной: .

Упростив, найдем .

Подставим это значение для у в первое уравнение системы , получим . Находим . Значит, двухместных лодок было 2, а трехместных – 4.

Ответ: 2 двухместные лодки, 4 трехместные лодки.