Задачи на проценты на ОГЭ по математике

Задачи на проценты – одна из важнейших тем, которые надо освоить девятикласснику. В жизни мы постоянно используем понятие «Проценты». А в школе в 9-м классе задачами на проценты занимаются мало. Разберемся вместе, что это и как их решать.

Один процент – это одна сотая часть чего-либо.

Например, на плитке шоколада написано, что в нем 45 % какао. Это значит, что масса какао составляет \(\displaystyle \frac{45}{100}\) от массы плитки.

Если масса такой шоколадки 100 граммов, то какао в ней \(\displaystyle \frac{45}{100}\cdot 100= 45\) граммов.

Другой пример. Вы скачиваете на свой ноутбук фильм из интернета. Вы видите на экране, что загружено 30% видеофайла. Это значит, что загружено \(\displaystyle \frac{30}{100}\), то есть 0,3 от всего видеофайла.

Еще пример. Вы проходите онлайн-курс, состоящий из 500 задач. Вы решили 25 задач, и значит, прошли  \(\displaystyle \frac{25}{500}=\frac{5}{100}\) всего курса, то есть 5 % всего курса.

Запомним: один процент – это одна сотая часть от чего-либо,

\(1\)% \(=\displaystyle \frac{1}{100}\), тогда

\(10\)% \(=\displaystyle \frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0,1;\)

\(25\)% \(=\displaystyle \frac{25}{100}=\frac{1}{4};\)

\(60\)% \(=\displaystyle \frac{60}{100}=\frac{3}{5};\)

\(5\)% \(=\displaystyle \frac{5}{100}=\frac{1}{20}.\)

А что такое дробь (то есть часть) от числа?

Одна четвертая часть от числа \(x\), или \(\displaystyle \frac{1}{4}\) от \(x\), означает, что дробь \(\displaystyle \frac{1}{4}\) умножается на число (величину) \(x\).

Например, найти 2% от 60 минут – значит, \(\displaystyle \frac{2}{100}\) надо умножить на 60.

Чтобы найти дробь от числа, надо дробь умножить на это число.

1. Запишите в виде обыкновенной и в виде десятичной дроби: 50%, 13%, 45%, 250%.

Решение:

\(50\)% \(=\displaystyle \frac{50}{100}=\frac{1}{2}=0,5;\)

\(13\)% \(=\displaystyle \frac{13}{100}=0,13;\)

\(45\)% \(=\displaystyle \frac{45}{100}=\frac{9}{20}=0,45;\)

\(250\)% \(=\displaystyle \frac{250}{100}=\frac{5}{2}=2,5.\)

2. Сколько градусов содержит угол, если он составляет 40% от прямого угла?

Решение:

Найдем 40% от 90°.

\(0,4\cdot 90 = 36\).

Ответ: 36°.

3. Чему равны в минутах 25% часа? 150% часа?

Решение:

25% часа – это четверть часа, то есть 15 минут.

150% часа – это \(\displaystyle \frac{3}{2}\) часа, то есть полтора часа, или 90 минут.

В задачах, да и в жизни, часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит? Повышение цены на 10% означает, что к прежней цене \(x\) прибавили \(0,1x\). То есть если первоначальная цена равна \(x\), то новая цена составит \(x+0,1x=1,1x\). Скидка на 25% означает, что прежняя цена уменьшилась на 25%. И если первоначальная цена была \(x\), то новая цена составит \(x-0,25x=0,75x\).

4. Кроссовки стоят 3000 рублей. Сезонная скидка составляет 15 процентов. Сколько вы заплатите за кроссовки с учетом скидки?

Решение:

\(0,15\cdot 3000=15\cdot 30=450\) – это сама скидка.

\(3000-450=2550\) (рублей) – это новая стоимость кроссовок с учетом скидки.

5. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит \(x\) рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Решение:

Если стоимость книги принять за 100%, то стоимость ее со скидкой равна  95% от \(x\)  рублей. Значит, с учетом скидки книга будет стоить \(0,95x\) рублей.

6. За год население города увеличилось на 1,3 процента. Во сколько раз выросло население города?

Решение:

Пусть население города составляет \(x\) жителей. За год оно увеличилось на 1,3% и стало равно

\(x+0,013x=1,013x.\)

Это значит, что население выросло в 1,013 раза.

7. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

Решение:

Очевидно, что 10% от 40 – это \(\displaystyle \frac{10}{100}\cdot 40=0,1\cdot 40=4.\)

Новая цена ручки составит 44 рубля. На 900 рублей можно купить 20 ручек.

Запомним важное правило: за 100% принимается та величина, с которой сравниваем.

8. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение:

Цена повышена на 16% по сравнению с чем? – с прежней ценой. Значит, прежняя цена – это 100%, новая цена – 116%.

Получаем, что

\(116\) % - 3480 рублей.

\(100\) % -  \(x\) рублей.

Во сколько раз 3480 рублей больше, чем \(x\) рублей? – Во столько же, во сколько раз \(116\)% больше, чем \(100\)%, то есть \(\displaystyle \frac{3480}{x}=\frac{116}{100}.\)

Напомним, что такое равенство двух отношений вида \(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)  называется пропорцией.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть \(a\cdot d=b\cdot c\).

Если в пропорции есть неизвестная величина, ее можно найти именно по этому правилу.

Например, из пропорции \(\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{c}{d}\)  находим \(x\):

\(a\cdot d=x\cdot c;\)

\(x=\displaystyle \frac{a\cdot d}{c}.\)

Решаем нашу пропорцию.

\(x\cdot 116=3480\cdot 100.\)

Получаем:

\(x=\displaystyle \frac{3480\cdot 100}{116}.\)

Ответ: 3000.

9. Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Решение:

Нам нужно узнать, на сколько снизилась цена по сравнению с первоначальной, поэтому первоначальную цену принимаем за 100%. Найдем, какой процент новая цена составляет от первоначальной. Обозначим его за \(x\).

Получаем, что

3500 рублей – это 100%;

2800 рублей – это \(x\)%.

Составляем пропорцию:

\(\displaystyle \frac{3500}{2800}=\frac{100}{x}\)

и решаем ее:

\(x=\displaystyle \frac{2800\cdot 100}{3500};\)

\(x = 80.\)

Новая цена телефона составляет 80% от первоначальной. Значит, цена была снижена на 20%.

Ответ: 20.

10. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 11000 рублей?

Решение:

Оптовая цена – та, по которой магазин получает товар. Розничная – та, по которой товар продают вам, когда вы приходите в магазин. Конечно, розничная цена выше.

Что принимаем за 100%? Очевидно, то, с чем сравниваем, то есть оптовую цену. Тогда розничная цена равна 120%. Составляем пропорцию и решаем ее. Находим, что оптовая цена учебника равна 150 рублей.

На 11000 рублей можно купить 73 учебника.

Теперь мы знаем, что такое проценты. И помним ценное правило: за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Запомним еще несколько полезных формул:

если величину \(x\) увеличить на \(p\) процентов, получим

\(x\cdot \left(1+\displaystyle \frac{p}{100}\right);\)

если величину \(x\) уменьшить на \(p\) процентов, получим

\(x\cdot \left(1-\displaystyle \frac{p}{100}\right);\)

если величину \(x\) увеличить на \(p\) процентов, а затем уменьшить на \(q\) процентов, получим

\(x\cdot \left(1+\displaystyle \frac{p}{100}\right)\cdot \left(1-\displaystyle \frac{q}{100}\right);\)

если величину \(x\) дважды увеличить на \(p\) процентов, получим

\(x\cdot \left(1+\displaystyle \frac{p}{100}\right)^2;\)

если величину \(x\) дважды уменьшить на \(p\) процентов, получим

\(x\cdot \left(1-\displaystyle \frac{p}{100}\right)^2.\)

Выведем первую формулу. Если величина \(x\) увеличилась на \(p%\) – это значит, что к \(x\) прибавили \(\displaystyle \frac{p}{100}\cdot x\). Вынесем \(x\) за скобки: \(x+\displaystyle \frac{p}{100}x=x\left(1+\displaystyle \frac{p}{100}\right).\)

11. Цена товара была повышена на 25%.  На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара?

Решение:

Пусть первоначальная цена товара равна \(x\) рублей.

После повышения цена товара станет равна \(x\cdot 1,25\) рублей. Обозначим эту новую цену за \(y\).

«Снижение цены» означает, что цена должна уменьшиться на \(p\) процентов, но по сравнению с чем? – С величиной \(y\).

Мы говорили, что если величину \(y\) уменьшить на \(p%\), получится \(y\cdot \left(1-\displaystyle \frac{p}{100}\right).\)

Когда величину \(y\) уменьшили на \(p\) процентов, получили первоначальную цену \(x\).

Значит, \(y\cdot \left(1-\displaystyle \frac{p}{100}\right)=x.\)

Так как \(y=1,25x\), получим: \(1,25x\cdot \left(1-\displaystyle \frac{p}{100}\right)=x.\)

Поделим обе части уравнения на \(x\), поскольку он не равен нулю. И запишем 1,25 как обыкновенную дробь.

\(\displaystyle \frac{5}{4}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{p}{100}\right)=1;\)

\(\displaystyle 1-\frac{p}{100}=\frac{4}{5};\)

\(\displaystyle \frac{p}{100}=\frac{1}{5};\)

\(p=20\).

Ответ: 20.

Запишем правила решения задач на проценты в виде таблицы:

12.  Десять одинаковых пирожных дороже большого торта на 4%. На сколько процентов пятнадцать таких же пирожных дороже торта?

Решение:

Пусть \(x\) – стоимость пирожного,  \(y\) – стоимость торта.

Так как в задаче цена пирожных сравнивается с ценой торта, а не наоборот, именно стоимость торта принимаем за 100%.

Стоимость 10 пирожных составляет 104% от стоимости торта.

Составим уравнение:

\(10x=1,04y.\)

Отсюда \(5x=0,52y;\)

\(15x= 1,56y.\)

Стоимость 15 пирожных составляет 156% от цены торта.

Значит, 15 пирожных на \(156-100=56\)% дороже торта.

Ответ: 56.

13. Товар подорожал на 15%, а затем подешевел на 15%. На сколько процентов изменилась стоимость товара?

Решение:

После подорожания на 15% стоимость товара составила 115% от исходной, после уменьшения цены на 15% уже 85% от получившейся цены. Пусть исходная стоимость товара равна \(A\), тогда новая цена равняется

\(A\cdot 1,15\cdot 0,85=0,9775A\), то есть 97,75% от \(A\).

Цена изменилась на \(100-97,75=2,25\)%.

Ответ: 2,25.