Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ОГЭ по математике > Задачи на проценты

Задачи на проценты

Задачи на проценты – одна из важнейших тем, которые надо освоить девятикласснику. В жизни мы постоянно используем понятие «Проценты». А в школе в 9-м классе задачами на проценты занимаются мало. Разберемся вместе, что это и как их решать.

Один процент – это одна сотая часть чего-либо.

Например, на плитке шоколада написано, что в нем 45 % какао. Это значит, что масса какао составляет $\frac{45}{100}$ от массы плитки.

Если масса такой шоколадки 100 граммов, то какао в ней $\frac{45}{100}\cdot 100= 45$ граммов.

Другой пример. Вы скачиваете на свой ноутбук фильм из интернета. Вы видите на экране, что загружено 30% видеофайла. Это значит, что загружено $\frac{30}{100}$ , то есть 0,3 от всего видеофайла.

Еще пример. Вы проходите онлайн-курс, состоящий из 500 задач. Вы решили 25 задач, и значит, прошли $\frac{25}{500}=\frac{5}{100}$ всего курса, то есть 5 % всего курса.

Запомним: один процент – это одна сотая часть от чего-либо,

$1$ % $=\frac{1}{100}$ , тогда

$10$ % $=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0,1$ ;

$25$ % $=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ ;

$60$ % $=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$ ;

$5$ % $=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$ .

А что такое дробь (то есть часть) от числа?

Одна четвертая часть от числа $x$ , или $\frac{1}{4}$ от $x$ , означает, что дробь $\frac{1}{4}$ умножается на число (величину) $x$ .

Например, найти 2% от 60 минут – значит, $\frac{2}{100}$ надо умножить на 60.

Чтобы найти дробь от числа, надо дробь умножить на это число.

1. Запишите в виде обыкновенной и в виде десятичной дроби: 50%, 13%, 45%, 250%.

Решение:

$5$ % $=\frac{5}{100}=\frac{1}{2}=0,5$

$13$ % $=\frac{13}{100}=0,13$

$45$ % $=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}=0,45$

$250$ % $=\frac{250}{100}=\frac{5}{2}=2,5$ .

2. Сколько градусов содержит угол, если он составляет 40% от прямого угла?

Решение:

Найдем 40% от 90°.

$0,4\cdot 90 = 36$ .

Ответ: 36°.

3. Чему равны в минутах 25% часа? 150% часа?

Решение:

25% часа – это четверть часа, то есть 15 минут.

150% часа – это $\frac{3}{2}$ часа, то есть полтора часа, или 90 минут.

В задачах, да и в жизни, часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит? Повышение цены на 10% означает, что к прежней цене $x$ прибавили $0,1x$ . То есть если первоначальная цена равна $x$ , то новая цена составит $x+0,1x=1,1x$ . Скидка на 25% означает, что прежняя цена уменьшилась на 25%. И если первоначальная цена была $x$ , то новая цена составит $x-0,25x=0,75x$ .

4. Кроссовки стоят 3000 рублей. Сезонная скидка составляет 15 процентов. Сколько вы заплатите за кроссовки с учетом скидки?

Решение:

$0,15\cdot 3000=15\cdot 30=450$ – это сама скидка.

$3000-450=2550$ (рублей) – это новая стоимость кроссовок с учетом скидки.

5. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит $x$ рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Решение:

Если стоимость книги принять за 100%, то стоимость ее со скидкой равна 95% от $x$ рублей. Значит, с учетом скидки книга будет стоить $0,95x$ рублей.

6. За год население города увеличилось на 1,3 процента. Во сколько раз выросло население города?

Решение:

Пусть население города составляет $x$ жителей. За год оно увеличилось на 1,3% и стало равно

$x+0,013x=1,013x$ .

Это значит, что население выросло в 1,013 раза.

7. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

Решение:

Очевидно, что 10% от 40 – это $\frac{10}{100}\cdot 40=0,1\cdot 40=4$

Новая цена ручки составит 44 рубля. На 900 рублей можно купить 20 ручек.

Запомним важное правило: за 100% принимается та величина, с которой сравниваем.

8. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение:

Цена повышена на 16% по сравнению с чем? – с прежней ценой. Значит, прежняя цена – это 100%, новая цена – 116%.

Получаем, что

116 % - 3480 рублей.

100 % - $x$ рублей

Во сколько раз 3480 рублей больше, чем $x$ рублей? – Во столько же, во сколько раз $116$ % больше, чем $100$ %, то есть $\frac{3480}{x}=\frac{116}{100}$

Напомним, что такое равенство двух отношений вида $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ называется пропорцией.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть $a\cdot d=b\cdot c$ .

Если в пропорции есть неизвестная величина, ее можно найти именно по этому правилу.

Например, из пропорции $\frac{a}{x}=\frac{c}{d}$ находим $x$ :

$a\cdot d=x\cdot c$

$x=\frac{a\cdot d}{c}$

Решаем нашу пропорцию.

$x\cdot 116=3480\cdot 100$

Получаем:

$x=\frac{3480\cdot 100}{116}$

Ответ: 3000.

9. Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Решение:

Нам нужно узнать, на сколько снизилась цена по сравнению с первоначальной, поэтому первоначальную цену принимаем за 100%. Найдем, какой процент новая цена составляет от первоначальной. Обозначим его за $x$ .

Получаем, что

3500 рублей – это 100%

2800 рублей – это $x$ %

Составляем пропорцию:

$\frac{3500}{2800}=\frac{100}{x}$

и решаем ее:

$x=\frac{2800\cdot 100}{3500}$

$x = 80$ .

Новая цена телефона составляет 80% от первоначальной. Значит, цена была снижена на 20%.

Ответ: 20.

10. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 11000 рублей?

Решение:

Оптовая цена – та, по которой магазин получает товар. Розничная – та, по которой товар продают вам, когда вы приходите в магазин. Конечно, розничная цена выше.

Что принимаем за 100%? Очевидно, то, с чем сравниваем, то есть оптовую цену. Тогда розничная цена равна 120%. Составляем пропорцию и решаем ее. Находим, что оптовая цена учебника равна 150 рублей.

На 11000 рублей можно купить 73 учебника.

Теперь мы знаем, что такое проценты. И помним ценное правило: за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Запомним еще несколько полезных формул:

если величину $x$ увеличить на $p$ процентов, получим

$x\cdot (1+\frac{p}{100})$ ;

если величину $x$ уменьшить на $p$ процентов, получим

$x\cdot (1-\frac{p}{100})$ ;

если величину $x$ увеличить на $p$ процентов, а затем уменьшить на $q$ процентов, получим

$x\cdot (1+\frac{p}{100})\cdot (1-\frac{q}{100})$ ;

если величину $x$ дважды увеличить на $p$ процентов, получим

$x\cdot (1+\frac{p}{100})^2$ ;

если величину $x$ дважды уменьшить на $p$ процентов, получим

$x\cdot (1-\frac{p}{100})^2$ .

Выведем первую формулу. Если величина $x$ увеличилась на $p%$ – это значит, что к $x$ прибавили $\frac{p}{100}\cdot x$ . Вынесем $x$ за скобки: $x+\frac{p}{100}x=x(1+\frac{p}{100})$ .

11. Цена товара была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара?

Решение:

Пусть первоначальная цена товара равна $x$ рублей.

После повышения цена товара станет равна $x\cdot 1,25$ рублей. Обозначим эту новую цену за $y$ .

«Снижение цены» означает, что цена должна уменьшиться на $p$ процентов, но по сравнению с чем? – С величиной $y$ .

Мы говорили, что если величину $y$ уменьшить на $p%$ , получится $y\cdot (1-\frac{p}{100})$ .

Когда величину $y$ уменьшили на $p$ процентов, получили первоначальную цену $x$ .

Значит, $y\cdot (1-\frac{p}{100})=x$ .

Так как $y=1,25x$ , получим: $1,25x\cdot (1-\frac{p}{100})=x$

Поделим обе части уравнения на $x$ , поскольку он не равен нулю. И запишем 1,25 как обыкновенную дробь.

$\frac{5}{4}\cdot (1-\frac{p}{100})=1$ ,

$1-\frac{p}{100}=\frac{4}{5}$ ,

$\frac{p}{100}=\frac{1}{5}$ ,

$p=20$ .

Ответ: 20.

Запишем правила решения задач на проценты в виде таблицы:

12. Десять одинаковых пирожных дороже большого торта на 4%. На сколько процентов пятнадцать таких же пирожных дороже торта?

Решение:

Пусть $x$ – стоимость пирожного, $y$ – стоимость торта.

Так как в задаче цена пирожных сравнивается с ценой торта, а не наоборот, именно стоимость торта принимаем за 100%.

Стоимость 10 пирожных составляет 104% от стоимости торта.

Составим уравнение:

$10x=1,04y$ .

Отсюда $5x=0,52y$ ,

$15x= 1,56y$ .

Стоимость 15 пирожных составляет 156% от цены торта.

Значит, 15 пирожных на $156-100=56$ % дороже торта.

Ответ: 56

13. Товар подорожал на 15%, а затем подешевел на 15%. На сколько процентов изменилась стоимость товара?

Решение:

После подорожания на 15% стоимость товара составила 115% от исходной, после уменьшения цены на 15% уже 85% от получившейся цены. Пусть исходная стоимость товара равна $A$ , тогда новая цена равняется

$A\cdot 1,15\cdot 0,85=97,95A$

Цена изменилась на $100-97,75=2,25$ %

Ответ: 2,25

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задачи на проценты» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 18.09.2023

Задачи на проценты

Это полезно