15. Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и MB =10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.
Решение.
Построим чертеж:
Угол между касательной СD и хордой АС равен половине угловой величины дуги АС, заключенной между сторонами этого угла.
Вписанный угол АВС также равен половине угловой величины дуги АС, на которую он опирается.
Значит, углы АСD и DBC равны. Тогда треугольники АСD и CВD подобны по двум углам (угол D у них общий).
Запишем соотношение сходственных сторон треугольников АСD и CВD:
\(\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}\)
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Значит, \(\frac{AC}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
Пусть АD=х,СD=у. Получим:
\(\frac{x}{y}=\frac{y}{x+15}=\frac{1}{2}\).
Отсюда \(2y=\frac{y}{2}+15; y=10\)
Ответ: 10.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
