15. Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и MB =10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.
Решение.
Построим чертеж:
Угол между касательной СD и хордой АС равен половине угловой величины дуги АС, заключенной между сторонами этого угла.
Вписанный угол АВС также равен половине угловой величины дуги АС, на которую он опирается.
Значит, углы АСD и DBC равны. Тогда треугольники АСD и CВD подобны по двум углам (угол D у них общий).
Запишем соотношение сходственных сторон треугольников АСD и CВD:
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Значит,
Пусть АD=х,СD=у. Получим:
.
Отсюда
Ответ: 10.