Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ОГЭ по математике > Задание 6 ОГЭ по математике. Числа и вычисления.

Задание 6 ОГЭ по математике. Числа и вычисления.

Задача 6 ОГЭ по математике называется «Числа и вычисления». Это действия с обыкновенными и с десятичными дробями. Действия со степенями. Сравнение чисел.

Приступим к решению задач.

Пример 1. Найдите значение выражения $\frac{0,8}{1-\frac{1}{9}}.$

Решение. Вспоминаем, что при вычитании дробей нужно их привести к общему знаменателю, а при делении дробей первую из них умножаем на перевёрнутую вторую.

Посчитаем, чему равен знаменатель.

$1-\frac{1}{9}=\ \frac{9}{9}-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

Получим:
$\frac{0,8}{1-\frac{1}{9}}=\frac{8}{10}:\frac{8}{9}=\frac{8}{10}\cdot \frac{9}{8}=\frac{9}{10}=0,9 .$

Ответ: 0,9.

Пример 2. Соотнесите обыкновенные дроби с равными им десятичными дробями.

А. $\frac{5}{8}$	Б. $\frac{3}{25}$	В. $\frac{1}{2}$	Г. $\frac{1}{50}$
1) 0,5	2) 0,02	3) 0,12	4) 0,625

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

Решение. Каждую из данных обыкновенных дробей можно представить в виде десятичной, например, используя деление в столбик.

Итак, деление выполнено. Сопоставим полученные результаты:

А	Б	В	Г
4	3	1	2

Ответ: 4312.

Замечание 1. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные можно произвести и без деления в столбик. Т. к. любая десятичная дробь записывается как обыкновенная со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д., то данные обыкновенные дроби можно «доделать» до десятичных. Для этого используем основное свойство дроби: дробь не изменится, если её числитель и знаменатель домножить на одно и тоже число.

Замечание 2. В этой задаче можно было, наоборот, преобразовывать заданные десятичные дроби в обыкновенные путём упрощения, т. е. сокращения числителя и знаменателя.

Выбирайте любой способ. Здесь важен правильный результат!

Для выполнения следующих заданий нам потребуются свойства степеней. Напомним основные из них.

Степенью называется выражение вида $\boldsymbol{a^c.}$

Здесь a — основание степени, c — показатель степени.
По определению, $a^1=a.$

Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: $a^2=a\cdot a.$

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: $a^3=a\cdot a\cdot a.$

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить его само на себя n раз:

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}_{n}$

По определению, ${\ \ a}^0=1.$

Это верно для $a\ne 0.$ Выражение $0^0$ не определено.

Определим, что такое степень с целым отрицательным показателем.

$a^{-1}=\frac{1}{a}$

$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Конечно, все это верно для $a\ne 0,$ поскольку на ноль делить нельзя.

Соберем свойства степеней и основные формулы в одной таблице.

$a^0=1$
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$	При перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$	При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.
$(a^n)^m=a^{n\cdot m}$	При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$	При возведении в отрицательную степень получаем дробь, где единица делится на степень с положительным показателем.
$(a\cdot b)^n=a^n \cdot b^n$	При возведении произведения двух множителей в степень каждый из этих множителей возводится в заданную степень.
$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$	При возведении дроби в степень получается дробь, числитель и знаменатель которой возведены в заданную степень.
$(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$	При возведении дроби в отрицательную степень дробь переворачивается, а показатель степени становится положительным.

Пример 3. Найдите значение выражения ${{(16\cdot 10}^{-2})}^2\cdot {(13\cdot 10}^4).$

Решение. Вычислим, используя свойства степеней:

${{(16\cdot 10}^{-2})}^2\cdot {(13\cdot 10}^4)={16}^2\cdot {\left({10}^{-2}\right)}^2\cdot {13\cdot 10}^4=256\cdot 13\cdot ({10}^{-4}\cdot {10}^4)=3\ 328\cdot {10}^0=3328.$

Ответ: 3328.

Пример 4. Найдите значение выражения ${5\cdot 10}^{-1}+{6\cdot 10}^{-2}+{4\cdot 10}^{-4}.$

Решение. Вычислим, используя свойства степеней:

${5\cdot 10}^{-1}+{6\cdot 10}^{-2}+{4\cdot 10}^{-4}=5\cdot \frac{1}{{10}^1}+6\cdot \frac{1}{{10}^2}+4\cdot \frac{1}{{10}^4}=$
$=5\cdot 0,1+6\cdot 0,01+4\cdot 0,0001=0,5+0,06+0,0004=0,5604.$

Ответ: 0,5604.

Пример 5. Найдите значение выражения $\frac{3^8\cdot 3^5}{3^9}.$

Решение. Вычислим, используя свойства степеней:

$\frac{3^8\cdot 3^5}{3^9}=\frac{3^{8+5}}{3^9}=\frac{3^{13}}{3^9}=3^{13-9}=3^4=81.$

Ответ: 81.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 6 ОГЭ по математике. Числа и вычисления.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задание 6 ОГЭ по математике. Числа и вычисления.

Это полезно