Попробуй решить самостоятельно! И смотри стрим 20.08.20 в 16.00 по московскому времени на нашем канале: https://www.youtube.com/user/MalkovaAnna
Задания № 16
1. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высота \(CC_1\) и медиана \(AA_1,\) причём точки \(A, C, A_1\) и \(C_1\) лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если \(AA_1 : CC_1 = 3: 2\) и \(A_1C_1 = 2.\)
2. Биссектрисы острых углов \(A\) и \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) пересекают окружность, описанную около этого треугольника, в точках \(A_1\) и \(B_1\) соответственно.
а) Докажите, что угол \(A_1BB_1\) равен \(45^\circ.\)
б) Биссектриса угла \(C\) пересекает окружность, описанную около треугольника \(ABC,\) в точке \(C_1 \). Найдите \(B_1C_1,\) если \(AB = 2\sqrt{3}, \ \ \angle BAC = 60^\circ.\)
Задание № 18
3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
\(\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2 = 2x+2y \hfill \\ x^2+y^2 = 2\left ( 1+a \right )x+2\left ( 1-a \right )y-2a^2 \end{matrix}\right.\)
имеет ровно два различных решения.
Задания № 19
4. Десять мальчиков и семь девочек ходили в лес за грибами. Оказалось, что любые три мальчика собрали меньше грибов, чем любые две девочки, но любые три девочки собрали меньше грибов, чем любые пять мальчиков.
а) Могла ли какая-нибудь девочка собрать меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?
б) Могло ли у всех детей быть разное количество грибов?
в) Какое наименьшее число грибов они могли собрать все вместе?
5. Сорок гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 8,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
6. По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек – разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков – разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.
а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?
б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?
Запись стрима с решением задач
- ЕГЭ-2020 по математике. Сложные задачи, неравноценные варианты и одно неравенство для всей страны
-
New
-
New
