13. а) Решите уравнение: \(2cos^3 x+ \sqrt{3} cos^2 x+2cosx+\sqrt{3}=0\).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \left[-2 \pi ; \displaystyle- \frac{\pi}{2} \right]. \)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 4, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На рёбрах \(CD\) и \(SC\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(DN:NC=SK:KC=1:3\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KN\) и параллельна прямой \(BC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(SA\).
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(SBC\).
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.
15. \(log_{5}((3-x)(x^2+2))\geq log_5(x^2-7x+12)+log_{5} (5-x).\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.
16. В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(120^{\circ}\). Прямые, содержащие высоты \(BM\) и \(CN\) треугольника \(ABC\), пересекаются в точке \(H\). Точка \(O\) – центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
а) Докажите, что \(AH=AO\).
б) Найдите площадь треугольника \(AHO\), если \(BC=\sqrt{15}\) , \( \angle ABC=45^{\circ}\).
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.
17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7.5 млн рублей?
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.
18. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение
\(\displaystyle \frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0\) имеет ровно два различных корня.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.
19. В течение \(n\) дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли \(n\) быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
