Умеете ли вы решать задачи ЕГЭ на движение и работу? Еще нет? Тогда срочно прочитайте, как это делается! Как мы записываем данные задачи в таблицу. В задачах на движение применяем формулу: \(S = v \cdot t.\) В задачах на работу — похожую формулу \(A = p \cdot t.\)
Составляем уравнение. Иногда оно линейное, иногда — дробно-рациональное. И решаем его.
А теперь самое интересное. Знаете ли вы, что во многих случаях решить задачу ЕГЭ на движение или на работу можно... в несколько раз быстрее!
То есть вообще не решая уравнение! Да, такое бывает.
1. Пристани \(A\) и \(B\) расположены на озере, расстояние между ними равно 234 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из \(A\) в \(B\). На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из \(A\) в \(B\). Найдите скорость баржи на пути из \(A\) в \(B\). Ответ дайте в км/ч.
Сначала решим эту задачу обычным способом.
Начинаем с таблицы. Пусть \(x\) — скорость баржи на пути из \(A\) в \(B\). Расстояние между \(A\) и \(B\) равно 234 километра. Из формулы \(S=v\cdot t\) легко выразить время: \(t=\displaystyle \frac{S}{v}=\frac{234}{x}.
\)
На обратном пути скорость на 4 км/ч больше, расстояние то же. Время, затраченное на путь из \(B\) в \(A\), равно \(\displaystyle \frac{234}{x+4}.\)
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| Из \(A\) в \(B\) | \(x\) | \(\displaystyle \frac{234}{x}\) | \(234\) |
| Из \(B\) в \(A\) | \(x+4\) | \(\displaystyle \frac{234}{x+4}\) | \(234\) |
Сразу поясним: здесь речь идет о времени, когда баржа находилась в движении. В условии задачи говорится, что на обратный путь баржа затратила столько же времени, сколько на путь из \(A\) в \(B\). При этом 8 часов баржа стояла, а время, которое она плыла, равно \(\displaystyle \frac{234}{x+4}.\)
Запишем, что время, затраченное на путь из \(A\) в \(B\) и на обратный путь — одинаково.
\(\displaystyle \frac{234}{x}=\frac{234}{x+4}+8. \)
Соберем слагаемые, содержащие \(x\), в левой части уравнения.
\(\displaystyle \frac{234}{x}-\frac{234}{x+4}=8. \)
Сократим обе части уравнения на 2.
\(\displaystyle \frac{117}{x}-\frac{117}{x+4}=4; \)
\(\displaystyle \frac{117\left(x+4\right)-117x}{x\left(x+4\right)}=4; \)
\(\displaystyle \frac{117}{x^2+4x}=1; \)
\(x^2+4x-117=0.\)
\(D=484;\, \sqrt{D}=22;\)
\(x=\displaystyle \frac{-4\pm 22}{2}; \, x> 0.\)
\(x=9.
\)
А теперь быстрый способ решения.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:
\(\displaystyle \frac{117}{x}-\frac{117}{x+4}=4. \)
Заметим, что \(117=13\cdot 9.\) Мы видим, что разность двух делителей числа 117 равна четырем. Подберем целый корень уравнения: \(x=9. \)
Часто в задачах ЕГЭ на движение и работу ответами являются целые числа, и их легко подобрать.
Решим еще несколько задач быстрым способом. Он поможет вам сэкономить время на ЕГЭ. Но конечно, никто не мешает вам решать как обычно, сводя уравнение к квадратному.
2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города \(A\) в город \(B\), расстояние между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно в \(A\) со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из \(A\) в \(B\). Найдите скорость велосипедиста на пути из \(B\) в \(A\). Ответ дайте в км/ч.
Составим таблицу. Скорость велосипедиста на пути из \(B\) в \(A\), которую надо найти, обозначим \(x\). Тогда скорость на пути из \(A\) в \(B\) равна \(x-8. \)
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| Из \(A\) в \(B\) | \(x-8\) | \(\displaystyle \frac{128}{x-8}\) | \(128\) |
| Из \(B\) в \(A\) | \(x\) | \(\displaystyle \frac{128}{x} \) | \(128\) |
Составим уравнение:
\(\displaystyle \frac{128}{x-8}-\frac{128}{x}=8. \)
Сократим обе части уравнения на 8.
\(\displaystyle \frac{16}{x-8}-\frac{16}{x}=1. \)
Разность двух делителей числа 16 равна единице. Если \(\displaystyle \frac{16}{x-8}=2,\) а \(\displaystyle \frac{16}{x} = 1,\) то \(x = 16.\) Это ответ.
3. От пристани \(A\) к пристани \(B\), расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт \(B\) оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Как всегда, начинаем с таблицы. Пусть \(x\) — скорость первого теплохода, \(x+4\) — скорость второго.
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| первый | \(x\) | \(\displaystyle \frac{192}{x} \) | \(192\) |
| второй | \(x+4\) | \(\displaystyle \frac{192}{x+4} \) | \(192\) |
Составим уравнение, учитывая, что второй теплоход был в пути на 4 часа меньше, чем первый.
\(\displaystyle \frac{192}{x}-\frac{192}{x+4}=4;\frac{48}{x}-\frac{48}{x+4}=1. \)
Разность двух делителей числа 48 равна 1. Например, \(4 - 3 = 1,\) и если \(x = 12,\) то уравнение обращается в истинное равенство. Подобрали ответ!
Ответ: 12.
А теперь задача ЕГЭ на работу.
4. На изготовление 575 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
Первый способ.
Составим таблицу:
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| 1 рабочий | \(x\) | \(\displaystyle \frac{575}{x} \) | \(575\) |
| 2 рабочий | \(x-1\) | \(\displaystyle \frac{600}{x-1} \) | \(600\) |
\(\displaystyle \frac{600}{x-1}-\frac{575}{x}=2.\)
\(600x-575\left(x-1\right)=2x\left(x-1\right);\)
\(2x^2-27x-575=0.\)
\(D=729+4\cdot 2\cdot 575=5329. \)
Как извлечь квадратный корень из четырёхзначного числа?
\({70}^2=4900;\, {80}^2=6400. \)
Значит, в квадрат возвели двухзначное число; первая цифра которого 7.
Число 5329 оканчивается на 9. Значит, в квадрат возводили число, оканчивающееся на 3 или на 7.
Проверим: \({73}^2=5329.\)
\(x=\displaystyle \frac{27\pm 73}{4};x> 0,\) значит, \(x=\displaystyle \frac{100}{4}=25.\)
Второй способ. Обойдемся без решения квадратного уравнения!
\(\displaystyle \frac{600}{x-1}-\frac{575}{x}=2. \)
На какие натуральные числа делится число 575?
\( 575=5\cdot 5\cdot 23=25\cdot 23,\) и если \(x=25;\) то \(\displaystyle \frac{600}{25-1}-\frac{575}{25}=2.\)
Ответ: 25.
Какой способ лучше — «традиционный» или вот этот, быстрый? Хорошо, если вы владеете обоими. Быстрый способ с подбором ответа — это не только экономия времени на ЕГЭ, но и подготовка к решению задач на числа и их свойства (задание Профильного ЕГЭ №18).
