Slider

Задачи на работу на ЕГЭ по математике

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: A=p \cdot t. Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

  1. A=p \cdot t, то есть работа = производительность \cdot время. Из этой формулы легко найти t или p.
  2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
  3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода...) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
  4. В качестве переменной x удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.


1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за x. Тогда производительность первого рабочего равна x+1 (он делает на одну деталь в час больше). t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle A}{\displaystyle p}, время работы первого рабочего равно t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 110}{\displaystyle x+1}, время работы второго равно t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 110}{\displaystyle x}.

p t A
первый рабочий x+1 t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 110}{\displaystyle x+1} 110
второй рабочий x t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 110}{\displaystyle x} 110

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, t_1 на 1 меньше, чем t_2, то есть

t_1=t_2-1

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 110}{\displaystyle x+1}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 110}{\displaystyle x}-1

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

x^2+x-110=0

Дискриминант равен 441. Корни уравнения: x_1=10, x_2=-11. Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их :-) Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10.


2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную x удобно обозначить производительность. Пусть x — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за y.

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, 2x=3y. Отсюда y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x.

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 12 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

\left( x+y \right) \cdot 12 = 1

\left( x+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x \right) \cdot 12 = 1

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5}{\displaystyle 3}x \cdot 12 = 1

20x=1

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}.

Итак, первый рабочий за день выполняет \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 20} всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 20 дней.

Ответ: 20.


3. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за x. Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна x+1, поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу

p t A
первая труба x t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 110}{\displaystyle x} 110
вторая труба x+1 t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 99}{\displaystyle x+1} 99

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, t_1-t_2=2. Составим уравнение:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 110}{\displaystyle x}-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 99}{\displaystyle x+1}=2 и решим его.

Ответ: 10.

4. Андрей и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Андрей — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на движение. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть x — производительность Андрея, y — производительность Паши, а z — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за 1 — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

производительность работа
Андрей x 1
Паша y 1
Володя z 1
Вместе x+y+z 1

Андрей и Паша покрасили забор за 9 часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
\left( x+y \right) \cdot 9=1
Аналогично,
\left( y+z \right) \cdot 12=1
\left( x+z \right) \cdot 18=1
Тогда
x+y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 9}
y+z=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}
x+z=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 18}.
Можно искать x, y и z по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
2\left( x+y+z \right)=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 9}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 18}
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за 8 часов.
Ответ: 8.


Читаем дальше: Задачи на проценты

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных