Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике

Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике

Смотри также видео "Текстовые задачи на ЕГЭ по математике".
Текстовая задача - это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.

Начнем с задач на проценты. Если эта тема сложна для тебя - посмотри материал простейшие текстовые задачи. В частности, в нем мы сформулировали важное правило: за $100\%$ мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Мы также вывели полезные формулы:

если величину $x$ увеличить на $p$ процентов, получим $x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right);$
если величину $x$ уменьшить на $p$ процентов, получим $x\cdot \left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right);$
если величину $x$ увеличить на $p$ процентов, а затем уменьшить на $q\%$ , получим $x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)\left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle q}{\displaystyle 100} \right);$

если величину $x$ дважды увеличить на $p$ процентов, получим $x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)^2;$
если величину $x$ дважды уменьшить на $p$ процентов, получим $x\cdot \left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)^2.$

Воспользуемся ими для решения задач.

$1$ . В $2008$ году в городском квартале проживало $40000$ человек. В $2009$ году в результате строительства новых домов число жителей выросло на $8\%$ , а в $2010$ году — на $9\%$ по сравнению с $2009$ годом. Сколько человек стало проживать в квартале в $2010$ году?

По условию, в $2009$ году число жителей выросло на $8\%$ , то есть стало равно $4000 \cdot 1,08=43200$ человек.

А в $2010$ году число жителей выросло на $9\%$ , теперь уже по сравнению с $2009$ годом. Получаем, что в $2010$ году в квартале стало проживать $40000 \cdot 1,08 \cdot 1,09 = 47088$ жителей.

Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре $2010$ года. Она проста, но справились с ней немногие.

$2$ . В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на $4\%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили $x$ рублей. К вечеру понедельника они подорожали на $p\%$ и стали стоить $x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$ . Теперь уже эта величина принимается за $100\%$ , и к вечеру вторника акции подешевели на $p\%$ по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

	в понедельник утром	в понедельник вечером	во вторник вечером
Стоимость акций	$x$	$x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$	$x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)$

По условию, акции в итоге подешевели на $4\%.$

Получаем, что
$x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)=x\cdot \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100} \right).$

Поделим обе части уравнения на $x$ (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения:

$1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p^2}{\displaystyle 100^2}=1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100};$
$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p^2}{\displaystyle 100^2}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100}.$

По смыслу задачи, величина $p$ положительна.
Получаем, что $p=20$ .

$3$ . Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $2000$ рублей, через два года был продан за $15842$ рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил $20000$ рублей. Его цена два раза уменьшилась на $p\%$ , и теперь она равна:

$20000\cdot \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=15842;$

$\left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15842}{\displaystyle 20000};$

$\left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7921}{\displaystyle 10000};$

$1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 89}{\displaystyle 100};$

$p=11.$

$4$ . Четыре рубашки дешевле куртки на $8\%$ . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна $x$ , стоимость куртки $y$ . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет $92\%$ от цены куртки, то есть $4x=0,92y$ .

Стоимость одной рубашки — в $4$ раза меньше:

$x=0,23y.$

А стоимость пяти рубашек:

$5x=1,15y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 115}{\displaystyle 100}y=115\%y.$

Получили, что пять рубашек на $15\%$ дороже куртки.

Ответ: $15$ .

$5$ . Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $67\%$ . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на $4\%.$ Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация $A$ » и «ситуация $B$ ».

	муж	жена	дочь	Общий доход
В реальности	$x$	$y$	$z$	$x+y+z$
Ситуация $A$	$2x$	$y$	$z$	$1,67 \left( x+y+z \right)$
Ситуация $B$	$x$	$y$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}z$	$0,96 \left( x+y+z \right)$

Осталось записать систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix}2x+y+z=1,67\left( x+y+z \right)\\ x+y+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}z=0,96\left( x+y+z \right)\end{matrix}\right. .$

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти $x$ , $y$ и $z$ по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму $x+y+z$ .

Получим: $x=0,96\left( x+y+z \right).$

Это значит, что зарплата мужа составляет $67\%$ от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение $x+y+z$ , упростим и получим, что

$x=0,06\left( x+y+z \right).$

Значит, стипендия дочки составляет $6\%$ от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет $27\%$ общего дохода.

Ответ: $27.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике

Это полезно