Slider

Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике


Смотри также видео "Текстовые задачи на ЕГЭ по математике".
Текстовая задача - это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.

Начнем с задач на проценты. С этой темой мы уже познакомились в задаче 1. В частности, сформулировали важное правило: за 100\% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Мы также вывели полезные формулы:

если величину x увеличить на p процентов, получим x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right).
если величину x уменьшить на p процентов, получим x\cdot \left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right).
если величину x увеличить на p процентов, а затем уменьшить на q\%, получим x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)\left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle q}{\displaystyle 100} \right).

если величину x дважды увеличить на p процентов, получим x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)^2
если величину x дважды уменьшить на p процентов, получим x\cdot \left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)^2

Воспользуемся ими для решения задач.


1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8\%, а в 2010 году — на 9\% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8\%, то есть стало равно 4000 \cdot 1,08=43200 человек.

А в 2010 году число жителей выросло на 9\%, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать 40000 \cdot 1,08 \cdot 1,09 = 47088 жителей.

Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре 2010 года. Она проста, но справились с ней немногие.


2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4\% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили x рублей. К вечеру понедельника они подорожали на p\% и стали стоить x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) . Теперь уже эта величина принимается за 100\%, и к вечеру вторника акции подешевели на p\% по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

в понедельник утром в понедельник вечером во вторник вечером
Стоимость акций x x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)

По условию, акции в итоге подешевели на 4\%.

Получаем, что
x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)=x\cdot \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100} \right)

Поделим обе части уравнения на x (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p^2}{\displaystyle 100^2}=1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100}
\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p^2}{\displaystyle 100^2}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100}

По смыслу задачи, величина p положительна.
Получаем, что p=20.


3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 2000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на p\%, и теперь она равна

20000\cdot \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=15842

\left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15842}{\displaystyle 20000}

\left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7921}{\displaystyle 10000}

1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 89}{\displaystyle 100}

p=11.


4. Четыре рубашки дешевле куртки на 8\%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна x, стоимость куртки y. Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 92\% от цены куртки, то есть 4x=0,92y.

Стоимость одной рубашки — в 4 раза меньше:

x=0,23y,

а стоимость пяти рубашек:

5x=1,15y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 115}{\displaystyle 100}y=115\%y

Получили, что пять рубашек на 15\% дороже куртки.

Ответ: 15.


5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67\%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4\%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация A» и «ситуация B».

муж жена дочь Общий доход
В реальности x y z x+y+z
Ситуация A 2x y z 1,67 \left( x+y+z \right)
Ситуация B x y \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}z 0,96 \left( x+y+z \right)

Осталось записать систему уравнений.

\left\{\begin{matrix}2x+y+z=1,67\left( x+y+z \right)\\ x+y+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}z=0,96\left( x+y+z \right)\end{matrix}\right.

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти x, y и z по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму x+y+z. Получим:

x=0,96\left( x+y+z \right)
Это значит, что зарплата мужа составляет 67\% от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение x+y+z, упростим и получим, что

x=0,06\left( x+y+z \right)
Значит, стипендия дочки составляет 6\% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27\% общего дохода.

Ответ: 27.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.