Задачи ЕГЭ по математике на движение и работу. Секреты решения

Умеете ли вы решать задачи ЕГЭ на движение и работу? Еще нет? Тогда срочно прочитайте, как это делается! Как мы записываем данные задачи в таблицу. В задачах на движение применяем формулу: $S = v \cdot t.$ В задачах на работу — похожую формулу $A = p \cdot t.$

Составляем уравнение. Иногда оно линейное, иногда — дробно-рациональное. И решаем его.

А теперь самое интересное. Знаете ли вы, что во многих случаях решить задачу ЕГЭ на движение или на работу можно ... в несколько раз быстрее!

То есть вообще не решая уравнение! Да, такое бывает.

1. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 234 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Сначала решим эту задачу обычным способом.

Начинаем с таблицы. Пусть x — скорость баржи на пути из А в В. Расстояние между А и В равно 234 километра. Из формулы $S=v\cdot t$ легко выразить время: $t=\frac{S}{v}=\frac{234}{x}.$

На обратном пути скорость на 4 км/ч больше, расстояние то же. Время, затраченное на путь из В в А, равно $\frac{234}{x+4}.$

	$v$	$t$	$S$
Из A в B	$x$	$\frac{234}{x}$	$234$
Из B в A	$x$	$\frac{234}{x+4}$	$234$

Сразу поясним: здесь речь идет о времени, когда баржа находилась в движении. В условии задачи говорится, что на обратный путь баржа затратила столько же времени, сколько на путь из А в Б. При этом 8 часов баржа стояла, а время, которое она плыла, равно $\frac{234}{x+4}.$

Запишем, что время, затраченное на путь из А в Б и на обратный путь — одинаково.

$\frac{234}{x}=\frac{234}{x+4}+8.$

Соберем слагаемые, содержащие х, в левой части уравнения.

$\frac{234}{x}-\frac{234}{x+4}=8$

Сократим обе части уравнения на 2.

$\frac{117}{x}-\frac{117}{x+4}=4;$

$\frac{117\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)}=4;$

$\frac{117}{x^2+4x}=1;$

$x^2+4x-117=0$

$D=484;\, \sqrt{D}=22;$

$x=\frac{-4\pm 22}{2}; \, x \ \textgreater 0$

$x=9.$

А теперь быстрый способ решения.

Посмотрим еще раз на наше уравнение:

$\frac{117}{x}-\frac{117}{x+4}=4$

Заметим, что $117=13\cdot 9.$ Мы видим, что разность двух делителей числа 117 равна четырем. Подберем целый корень уравнения: $x=9.$

Часто в задачах ЕГЭ на движение и работу ответами являются целые числа, и их легко подобрать.

Решим еще несколько задач быстрым способом. Он поможет вам сэкономить время на ЕГЭ. Но конечно, никто не мешает вам решать как обычно, сводя уравнение к квадратному.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Составим таблицу. Скорость велосипедиста на пути из В в А, которую надо найти, обозначим x. Тогда скорость на пути из А в В равна $x-8.$

	$v$	$t$	$S$
Из A в B	$x-8$	$\frac{128}{x-8}$	$128$
Из B в A	$x$	$\frac{128}{x}$	$128$

Составим уравнение:

$\frac{128}{x-8}-\frac{128}{x}=8.$

Сократим обе части уравнения на 8.

$\frac{16}{x-8}-\frac{16}{x}=1.$

Разность двух делителей числа 16 равна единице. Если $\frac{16}{x-8}=2,$ а $\frac{16}{x} = 1,$ то $x = 16.$ Это ответ.

3. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Как всегда, начинаем с таблицы. Пусть x — скорость первого теплохода, $x+4$ — скорость второго.

	$v$	$t$	$S$
первый	$x$	$\frac{192}{x}$	$192$
второй	$x+4$	$\frac{192}{x+4}$	$192$

Составим уравнение, учитывая, что второй теплоход был в пути на 4 часа меньше, чем первый.

$\frac{192}{x}-\frac{192}{x+4}=4;\frac{48}{x}-\frac{48}{x+4}=1.$

Разность двух делителей числа 48 равна 1. Например, $4 - 3 = 1,$ и если $x = 12,$ то уравнение обращается в истинное равенство. Подобрали ответ!

Ответ: 12.

А теперь задача ЕГЭ на работу.

4. На изготовление 575 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Первый способ.

Составим таблицу:

	$v$	$t$	$S$
1 рабочий	$x$	$\frac{572}{x}$	$575$
2 рабочий	$x-1$	$\frac{600}{x-1}$	$600$

$\frac{600}{x-1}-\frac{575}{x}=2.$

$600x-575\left(x-1\right)=2x\left(x-1\right)$

$2x^2-27x-575=0$

$D=729+4\cdot 2\cdot 575=5329.$

Как извлечь квадратный корень из четырёхзначного числа?

${70}^2=4900;\, {80}^2=6400.$

Значит, в квадрат возвели двухзначное число; первая цифра которого 7.

Число 5329 оканчивается на 9. Значит, в квадрат возводили число, оканчивающееся на 3 или на 7.

Проверим: ${73}^2=5329.$

$x=\frac{27\pm 73}{4};x \textgreater 0,$ значит, $x=\frac{100}{4}=25.$

Второй способ. Обойдемся без решения квадратного уравнения!

$\frac{600}{x-1}-\frac{575}{x}=2.$

На какие натуральные числа делится число 575?

$575=5\cdot 5\cdot 23=25\cdot 23,$ и если $x=25;$ то $\frac{600}{25-1}-\frac{575}{25}=2.$

Ответ: 25.

Какой способ лучше — «традиционный» или вот этот, быстрый? Хорошо, если вы владеете обоими. Быстрый способ с подбором ответа — это не только экономия времени на ЕГЭ, но и подготовка к решению задач на числа и их свойства (задание Профильного ЕГЭ №18).

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задачи ЕГЭ по математике на движение и работу. Секреты решения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задачи ЕГЭ по математике на движение и работу. Секреты решения

Это полезно