previous arrow
next arrow
Slider

Задачи ЕГЭ по математике на движение и работу. Секреты решения

Умеете ли вы решать задачи ЕГЭ на движение и работу? Еще нет? Тогда срочно прочитайте, как это делается! Как мы записываем данные задачи в таблицу. В задачах на движение применяем формулу: S = v \cdot t. В задачах на работу — похожую формулу A = p \cdot t.

Составляем уравнение. Иногда оно линейное, иногда — дробно-рациональное. И решаем его.

А теперь самое интересное. Знаете ли вы, что во многих случаях решить задачу ЕГЭ на движение или на работу можно ... в несколько раз быстрее!

То есть вообще не решая уравнение! Да, такое бывает.

1. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 234 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Сначала решим эту задачу обычным способом.

Начинаем с таблицы. Пусть x — скорость баржи на пути из А в В. Расстояние между А и В равно 234 километра. Из формулы S=v\cdot t легко выразить время: t=\frac{S}{v}=\frac{234}{x}.

На обратном пути скорость на 4 км/ч больше, расстояние то же. Время, затраченное на путь из В в А, равно \frac{234}{x+4}.

v t S
Из A в B x \frac{234}{x} 234
Из B в A x \frac{234}{x+4} 234

 

Сразу поясним: здесь речь идет о времени, когда баржа находилась в движении. В условии задачи говорится, что на обратный путь баржа затратила столько же времени, сколько на путь из А в Б. При этом 8 часов баржа стояла, а время, которое она плыла, равно \frac{234}{x+4}.

Запишем, что время, затраченное на путь из А в Б и на обратный путь — одинаково.

\frac{234}{x}=\frac{234}{x+4}+8.

Соберем слагаемые, содержащие х, в левой части уравнения.

\frac{234}{x}-\frac{234}{x+4}=8

Сократим обе части уравнения на 2.

\frac{117}{x}-\frac{117}{x+4}=4;

\frac{117\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)}=4;

\frac{117}{x^2+4x}=1;

x^2+4x-117=0

D=484;\, \sqrt{D}=22;

x=\frac{-4\pm 22}{2}; \, x \ \textgreater 0

x=9.

А теперь быстрый способ решения.

Посмотрим еще раз на наше уравнение:

\frac{117}{x}-\frac{117}{x+4}=4

Заметим, что 117=13\cdot 9. Мы видим, что разность двух делителей числа 117 равна четырем. Подберем целый корень уравнения: x=9.

Часто в задачах ЕГЭ на движение и работу ответами являются целые числа, и их легко подобрать.

Решим еще несколько задач быстрым способом. Он поможет вам сэкономить время на ЕГЭ. Но конечно, никто не мешает вам решать как обычно, сводя уравнение к квадратному.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Составим таблицу. Скорость велосипедиста на пути из В в А, которую надо найти, обозначим x. Тогда скорость на пути из А в В равна x-8.

v t S
Из A в B x-8 \frac{128}{x-8} 128
Из B в A x \frac{128}{x} 128

 

Составим уравнение:

\frac{128}{x-8}-\frac{128}{x}=8.

Сократим обе части уравнения на 8.

\frac{16}{x-8}-\frac{16}{x}=1.

Разность двух делителей числа 16 равна единице. Если \frac{16}{x-8}=2, а \frac{16}{x} = 1, то x = 16. Это ответ.

3. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Как всегда, начинаем с таблицы. Пусть x — скорость первого теплохода, x+4 — скорость второго.

v t S
первый x \frac{192}{x} 192
второй x+4 \frac{192}{x+4} 192

 

Составим уравнение, учитывая, что второй теплоход был в пути на 4 часа меньше, чем первый.

\frac{192}{x}-\frac{192}{x+4}=4;\frac{48}{x}-\frac{48}{x+4}=1.

Разность двух делителей числа 48 равна 1. Например, 4 - 3 = 1, и если x = 12, то уравнение обращается в истинное равенство. Подобрали ответ!

Ответ: 12.

А теперь задача ЕГЭ на работу.

4. На изготовление 575 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Первый способ.

Составим таблицу:

v t S
1 рабочий x \frac{572}{x} 575
2 рабочий x-1 \frac{600}{x-1} 600

 

\frac{600}{x-1}-\frac{575}{x}=2.

600x-575\left(x-1\right)=2x\left(x-1\right)

2x^2-27x-575=0

D=729+4\cdot 2\cdot 575=5329.

Как извлечь квадратный корень из четырёхзначного числа?

{70}^2=4900;\, {80}^2=6400.

Значит, в квадрат возвели двухзначное число; первая цифра которого 7.

Число 5329 оканчивается на 9. Значит, в квадрат возводили число, оканчивающееся на 3 или на 7.

Проверим: {73}^2=5329.

x=\frac{27\pm 73}{4};x \textgreater 0, значит, x=\frac{100}{4}=25.

Второй способ. Обойдемся без решения квадратного уравнения!

\frac{600}{x-1}-\frac{575}{x}=2.

На какие натуральные числа делится число 575?

575=5\cdot 5\cdot 23=25\cdot 23, и если x=25; то \frac{600}{25-1}-\frac{575}{25}=2.

Ответ: 25.

Какой способ лучше — «традиционный» или вот этот, быстрый? Хорошо, если вы владеете обоими. Быстрый способ с подбором ответа — это не только экономия времени на ЕГЭ, но и подготовка к решению задач на числа и их свойства (задание Профильного ЕГЭ №19).