Есть два правила для решения задач с параметрами.
\(1.\) Можешь нарисовать – нарисуй.
\(2.\) Можешь сделать замену переменной – сделай.
И действительно, графический способ решения задач с параметрами – самый простой и наглядный. С него мы и начнем.
1. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\displaystyle \frac{x^2+a^2-4a}{x-a}=0\) имеет ровно \(2\) различных решения?
Решение:
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Получим систему:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x^2+a^2-4a=0, \\
x-a\ne 0. \end{array}
\right. \)
В первом уравнении выделим полный квадрат:
\(x^2+a^2-4a+4=4; \)
\(x^2+{(a}^{\ }-2)^2=4. \)
Это уравнение окружности с центром в точке \(P (0; 2)\) и радиусом равным \(2\). Обратите внимание — графики будем строить в координатах \((x; a)\).
Уравнение \(a= x\) задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.
Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината \(a\) должна быть не меньше \(0\) и не больше \(4\).
Кроме того, точка не должна лежать на прямой \(a= x\), которая пересекает окружность в точках \(A(0; 0)\) и \(B (2; 2).\)
Координаты этих точек легко найти, подставив \(a= x\) в уравнение окружности.
Точка \(C\) также не подходит нам, поскольку при \(a = 4\) мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.
Это значит, что \(a\in \left(0;2\right)\cup \left(2;4\right).\)
2. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{a-2xy}=y-x+7\) имеет единственное решение.
Решение:
Уравнение равносильно системе:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a-2xy={\left(y-x+7\right)}^2, \\
y-x+7\ge 0. \end{array}
\right. \)
Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что \(y-x+7\ge 0\) (смотри тему «Иррациональные уравнения»).
Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a-2xy=y^2+x^2+49+14y-14x-2xy, \\
y\ge x-7. \end{array}
\right. \)
Приводим подобные слагаемые в уравнении.
\(\left\{ \begin{array}{c}
a=y^2+x^2+49+14y-14x, \\
y\ge x-7. \end{array}
\right. \)
Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа \(49\) можно выделить полные квадраты:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a+49={x^2-14x+49+y}^2+14y+49, \\
y\ge x-7; \end{array}
\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
{\left(x-7\right)}^2+{\left(y+7\right)}^2=a+49, \\
y\ge x-7. \end{array}
\right. \)
Решим систему графически.
Уравнение \({\left(x-7\right)}^2+{\left(y+7\right)}^2=a+49\) задает окружность с центром в точке \(P(7; -7)\), где радиус \(R=\sqrt{a+49}.\)
Неравенство \(y\ge x-7\) задает полуплоскость, которая расположена выше прямой \(y=x-7\), вместе с самой этой прямой.
Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением \(y=\ x-7.\)
Пусть \(C\) — точка касания.
На координатной плоскости отметим точки \( A\left(0;-7\right)\) и \(B\left(7;0\right)\), в которых прямая \(y=\ x-7\) пересекает оси \(Y\) и \(X\).
Рассмотрим треугольник \(ABP\). Он прямоугольный, и радиус окружности \(PC\) является медианой этого треугольника. Значит \(PC=\displaystyle \frac{AB}{2}\) по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Из треугольника \(ABP\) найдем длину гипотенузы \(AB\) по теореме Пифагора.
\(AB=\sqrt{{AP}^2+{BP}^2}; \)
\(AB=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}.\) Тогда
\(PC=\displaystyle \frac{AB}{2}; \)
\(\sqrt{a+49}=\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}. \)
Решая это уравнение, получаем, что \(a=-24,5.\)
Ответ: \(a=-24,5.\)
3. Найдите все положительные значения параметра \(a\), при каждом из которых система \(\left\{ \begin{array}{c}
{(\left|x\right|-5)}^2+{(y-4)}^2=4, \\
{(x-2)}^2+y^2=a^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}
\right. \) имеет единственное решение.
Решение:
График уравнения \( {(x-5)}^2+{(y-4)}^2=4\) - окружность \( \omega _1 \) с центром \(P(5; 4)\) и радиусом равным \(2\).
График уравнения \({(\left|x\right|-5)}^2+{(y-4)}^2=4\) - две симметричные окружности \(\omega _1\) и \(\omega _2\) радиуса \(2\) c центрами в точках \(P(5; 4)\) и \(Q(-5; 4). \)
Второе уравнение при \(a>0\) задает окружность \(\omega\) с центром в точке \(M(2;0)\) и радиусом \(a\).
Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.
Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность \(\omega\) , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности \(\omega _2\) или только правой \(\omega _1 .\)
Если \(a\) - радиус окружности \(\omega\) , то это значит, что \(a=MA \) (только правая) или \(a=MB\) (только левая).
Пусть \(A\) - точка касания окружности \(\omega\) и окружности \(\omega _1.\)
Для точки \(A\):
\(MA + AP = MP\), \(MP = 5\) (как гипотенуза прямоугольного треугольника \(MNP\) с катетами \(3\) и \(4\)), \(MA=a=MP-AP=\ 5-2=3.\)
\(B\) — точка касания окружности \(\omega \) и окружности \(\omega _2.\)
Для точки \(B\):
\( MB=MQ+QB;\) длину \(MQ\) найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника \(KMQ\) с катетами \(7\) и \(4\); \(MQ = \sqrt{65}.\) Тогда для точки \(B\) получим: \(a=MB=\sqrt{65}+2.\ \)
Есть еще точки \(C\) и \(D\), в которых окружность \(\omega \) касается окружности \(\omega _1\) или окружности \(\omega _2\) соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки \(C\):
\(MC=MA+AC=\ 3+4= 7\), но \( 7 < \sqrt{65}+2\) и это значит, что окружность с центром в точке \(M\), проходящая через точку \(C\), будет пересекать левую окружность \(\omega _2\) и система будет иметь не одно, а три решения.
Аналогично, для точки \(D\):
\(MD=MQ-QD=\sqrt{65}-2 > 3\), и значит, окружность с центром \(M\), проходящая через точку \(D\), будет пересекать правую окружность \(\omega _1\) и система будет иметь три решения.
Ответ: \(a=3\) или \(a=\sqrt{65}+2.\)
4. При каких значениях \(a\) система уравнений \(\left\{ \begin{array}{c}
4\left|y-3\right|=12-3\left|x\right|, \\
y^2-a^2=3\left(2y-3\right)-x^2 \end{array}
\right.\ \) имеет 4 решения?
Решение:
Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)
И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!
\(\left\{ \begin{array}{c}
3\left|x\right|+4\left|y-3\right|=12l, \\
x^2+y^2-6y+9=a^2; \end{array}
\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
3\left|x\right|+4\left|y-3\right|=12, \\
x^2+{\left(y-3\right)}^2=a^2. \end{array}
\right. \)
Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.
Сделаем замену: \(y-3=t.\) Система примет вид:
\(\left\{ \begin{array}{c}
3\left|x\right|+4\left|t\right|=12, \\
x^2+t^2=a^2. \end{array}
\right. \)
Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах \((x; t).\)
Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами \((0; 3); (0; -3); (4; 0)\) и \((-4; 0).\)
Графиком второго уравнения является окружность с радиусом \(R=\left|a\right|\) и центром в начале координат.
Когда же система имеет ровно \(4\) решения?
1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.
Запишем площадь ромба двумя способами — как половина произведения диагоналей и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Диагонали нашего ромба равны \(8\) и \(6\). Значит, \(S_{ромба}=\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24.\)
Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами \(3\) и \(4\)? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна \(5\).
Если \(h\) — высота ромба, то \(S_{ромба}=5h=24\). При этом \(h=2R.\)
Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба.
Отсюда \(R=\displaystyle \frac{12}{5} = \left|a\right|. \)
Мы получили ответ:
\(a=\pm \displaystyle \frac{12}{5}. \)
2) Есть второй случай, и мы его найдем.
Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав \( R<\displaystyle \frac{12}{5}\), окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.
Пусть радиус окружности больше, чем \(\displaystyle \frac{12}{5}\), но меньше \(3\). Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых \(8\) решений. Опять не то.
Пусть радиус окружности равен \(3\). Тогда система имеет \(6\) решений.
А что, если \(3< R< 4\)? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно \(1\) раз, всего \(4\) решения. Подходит!
Значит, \(3< \left|a\right| < 4.\) Объединим случаи и запишем ответ:
Ответ: \(\left[ \begin{array}{c}
\left|a\right|=\displaystyle \frac{12}{5}, \\
3< \left|a\right| < 4. \end{array}
\right.\)
Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.
