Элементарные функции и их графики

Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».

И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.

Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.

Существует всего пять типов элементарных функций:

\(1.\) Степенные.
К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, \(\displaystyle \frac{1}{x}, \; \sqrt{x}, \; \sqrt[n]{x}\). Все они содержат выражения вида \(x^{a}\).

\(2.\) Показательные.
Это функции вида \(y = a^{x}.\)

\(3.\) Логарифмические.
\(y = log_{a}x.\)

\(4.\) Тригонометрические.
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

\(5.\) Обратные тригонометрические.
Содержат \(arcsin x, \; arccos x, \; arctg x, \; arcctg x.\)

Элементарными они называются, потому что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, \(y = x^{2}\cdot  e^{x}\) — произведение квадратичной и показательной функций; \(y = sin(a^{x})\) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.

Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.

Степенные функции:

1. Линейная функция \(y = x\)
2. Квадратичная парабола \(y =x^{2}\)
3. Функция \(y =x^{n},\) \(n\) - натуральное, \(n > 1,\) \(n\) - чётное, \(n = 2, 4, 6,...\)
\(n\) - нечётное, \(n = 3, 5, 7,...\)
4. Гипербола \(y = \displaystyle \frac{1}{x}\)
5. \(y=\sqrt{x}\)
6. \(y=\sqrt[3]{x}\)

Показательная функция \(y =a^{x}:\)

\(a > 1\)
\(0 < a < 1\)

Логарифмическая функция \(y = log_{a}x:\)

\(a > 1\)
\(0 < a < 1\)

Тригонометрические функции:

1. \(y = sin x\)
2. \(y = cos x\)
3. \(y = tg x\)
4. \(y = ctg x\)

Обратные тригонометрические функции:

1. \(y = arcsin x\)
2. \(y = arccos x\)
3. \(y = arctg x\)
4. \(y = arcctg x\)

Выше приведены основные, «базовые» графики. А как будут выглядеть, например, графики функций \(y = sin(2x)\) или \(y = 4x^{2} + 5\)? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».

Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.

Почему в уравнении \(3^{x} = 3^{5}\) мы можем «отбросить» основания и записать, что \(x = 5\)? Да потому что показательная функция \(y = 3^{x}\) возрастает и каждое значение принимает только один раз.

Почему уравнение \(sin x = \displaystyle \frac{1}{2}\) имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: \(x=(-1)^{n}\cdot \displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi n\), где \(n\) — целое? Потому что функция \(y = sinx\) — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.

Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.

Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».