previous arrow
next arrow
Slider

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Анна Малкова

Пусть \alpha и \beta – смежные углы, l_1 – биссектриса угла \alpha, l_2 – биссектриса угла \beta. Докажем, что l_1 \perp l_2.

Смежные углы – это углы, имеющие общую сторону, и их сумма равна 180^{\circ}. Так как углы \alpha и \beta – смежные, \angle AOC+ \angle COB=180^{\circ}.

\angle DOC= \frac{1}{2}\alpha,

\angle COE= \frac{1}{2}\beta

\angle DOC + \angle COE = \frac{1}{2} \left ( \alpha + \beta \right )=\frac{1}{2}\cdot 180 ^{\circ} = 90^{\circ}

\angle DOE = 90^{\circ}.

Значит, l_1 \perp l_2, что и требовалось доказать.

Легко доказать также, что биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей – перпендикулярны. Сделайте это самостоятельно.

Полезные следствия, применяемые в решении задач ЕГЭ:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Задача ЕГЭ по теме «Биссектрисы односторонних углов»

Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны. Угол между ними равен 90 ^{\circ}