Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.

Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.

Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.

Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.

Теорема 4.

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.

Теорема 5. Радиус окружности $r$ , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ , вычисляется по формуле: $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}.$

Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Напомним определение правильного многоугольника:

Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.

Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Теорема 6.

Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен $\displaystyle R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $\displaystyle r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Докажем эту теорему.

У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.

Пусть в правильном треугольнике $ABC$ стороны $AB=BC=AC=a$ , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, $AM, BH, CN$ — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки $AM, BH, CN$ в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда $OA = OB = OC = R, OM = OH = ON = r.$

Получаем, что $\displaystyle R=OB=\frac{2}{3}BH, r=OH=\frac{1}{3}BH.$

Из треугольника АВН получаем, что длина стороны $\displaystyle BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Тогда $\displaystyle R=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}, r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника — $\displaystyle r=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник $\displaystyle r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.

Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.

Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Длина стороны равностороннего треугольника $ABC$ равна $15 : 3 = 5.$

Радиусы $r$ – вписанной и $R$ – описанной окружностей можно найти по формулам:

$\displaystyle r=\frac{a\sqrt{3}}{6}, R=\frac{a\sqrt{3}}{3},$ где $a$ — сторона треугольника.

Значит, $\displaystyle r=\frac{5\sqrt{3}}{6}, R=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$

Ответ: $\displaystyle r=\frac{5\sqrt{3}}{6}, R=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

$S=p \cdot r$ ,

где $p=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left( a+b+c \right)$ — полупериметр,

$r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части $2$ :

$S=\genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R},$

где $a, b, c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов:

$\displaystyle\frac{a}{sin\angle A}=\frac{b}{sin\angle B}=\frac{c}{sin\angle C}=2R,$

R — радиус описанной окружности

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

$\displaystyle S=pr,$

$\displaystyle S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ где $\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр треугольника, a $a, b, c$ – его стороны.

$\displaystyle p=\frac{13+14+15}{2}=21,$

$\displaystyle S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84.$

Тогда $\displaystyle r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4$ , а диаметр окружности равен $8.$

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен $2$ . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите $c\left( \sqrt{2}-1 \right)$ .

Решение:

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен $a$ . Тогда гипотенуза равна $a\sqrt{2}$ .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

$S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} a^2.$

$S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\left( 2a + a\sqrt{2}\right)r.$

Приравняв эти выражения, получим, что $a=\left( 2 + \sqrt{2}\right)r$ . Поскольку $r=2$ , получаем, что $a=4+2\sqrt{2}$ .

Тогда $c=a\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}=4\left( 1+\sqrt{2} \right)$ .

В ответ запишем $c\left( \sqrt{2}-1 \right)=4$ .

Ответ: 4.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $7\sqrt{3}$ , а угол $B$ равен $120^{\circ}$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

По теореме синусов $\displaystyle \frac{AC}{sin B}=2R.$

Тогда $\displaystyle R=\frac{7\sqrt{3}}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=7.$

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике $ABC$ угол А равен $57^{\circ}$ , а угол В – $93^{\circ}$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ , если сторона $AB$ равна 10.

Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ , найдем угол С.

$\displaystyle \angle C = 180^{\circ }-(\angle A+\angle B)=180^{\circ }-(53^{\circ }+97^{\circ })=30^{\circ }.$

По теореме синусов $\displaystyle \frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=2R.$

Значит, $\displaystyle R=\frac{AB}{2sinC}=10.$

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

$\genfrac{}{}{}{0}{AC}{\sin B}=2R.$

Получаем, что $\sin B=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$ . Угол $B$ — тупой. Значит, он равен $150^{\circ}$ .

Ответ: 150.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны $40$ , основание равно $48$ . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

$S=\genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}.$

$S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ah$ , где $h$ — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону $AB$ пополам. По теореме Пифагора найдем $h=32$ .

Тогда $R=25$ .

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Решение:

Высота $BH$ , проведенная к основанию $AC$ , является медианой. Значит, $AH = HC = 5$ .

$AB$ находится по теореме Пифагора из треугольника $ABH$ :

$\displaystyle AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.$

Периметр треугольника $ABC$ – это сумма длин сторон, т.е. $P = 13 + 13 + 10 = 36.$

Площадь треугольника $\displaystyle S=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60.$

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле $S = p r:$

$\displaystyle r=\frac{S}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}.$

Ответ: $\displaystyle 30; \frac{10}{3}.$

Задача 9, ОГЭ. Стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны 6 и $3\sqrt{2}$ соответственно, угол $B- 45^{\circ }$ . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника $ABC$ .

Решение:

Найдем длину стороны $AC$ по теореме косинусов, используя длины сторон $AB$ , $CB$ и косинус угла В, противолежащего стороне $AC$ :

$\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB=6^{2}+(3\sqrt{2})^{2}-2\cdot 6\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=18,AC=3\sqrt{2}.$

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

$\displaystyle \frac{AC}{sin45^{\circ }}=2R,$

$\displaystyle 2R=3\sqrt{2}:\frac{\sqrt{2}}{2}=6.$

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника $ABC$ , равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности $R = 5$ , а длина радиуса вписанной окружности $r = 1.$

Мы знаем, что $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}, R=\frac{c}{2}, S=p\cdot r$ , где $\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, $a, b, c$ – стороны треугольника.

Значит, $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{a+b+c-2c}{2}=\frac{a+b+c}{2}-\frac{2c}{2}=$

$=p-c=p-2R.$

Отсюда $\displaystyle r=p-2R, p=r+2R.$

Тогда $\displaystyle S=(r+2R)\cdot r=(1+2\cdot 5)\cdot 1=11.$

Ответ: 11.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Решение:

Пусть радиус вписанной окружности $r = 2$ , а гипотенуза $c = 10.$

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}.$

Значит, $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{a+b+c-2c}{2}=\frac{a+b+c}{2}-\frac{2c}{2}=p-c,$ отсюда $p =r+c.$

Площадь находится по формуле $S =pr,$ где $\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, $a, b, c$ – стороны треугольника.

$\displaystyle S=(r+c)\cdot r=(2+10)\cdot 2=24.$

Ответ: 24.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $BO$ вторично пересекает описанную около треугольника $ABC$ окружность в точке Р.

а) Докажите, что $\displaystyle \angle POA=\angle PAO.$

б) Найдите площадь треугольника $APO$ , если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ равен 10, $\displaystyle \angle BAC=75^{\circ }, \angle ABC=60^{\circ }.$

Решение:

а) Пусть $\displaystyle \angle ABC=2\beta , \angle BAC=2\alpha .$ О – центр вписанной окружности, значит, $AO$ и $BO$ – биссектрисы углов $ABC$ и $BAC$ соответственно, и $\displaystyle \angle ABO=\angle OBC=\beta , \angle BAO=\angle OAC=\alpha .$

$\displaystyle \angle PAC=\angle PBC=\beta$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $PC.$
Тогда $\displaystyle \angle PAO=\alpha +\beta .$

$\displaystyle \angle POA$ – внешний угол треугольника $AOB$ , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е. $\displaystyle \angle POA=\angle OAB+\angle OBA=\alpha +\beta .$

Значит, $\displaystyle \angle POA=\angle PAO.$ Что и требовалось доказать.

б) $\displaystyle \angle POA=\angle PAO$ , следовательно, треугольник $POA$ – равнобедренный, $AO$ – основание, $PA = PO.$

Угол $ABC$ равен $60^{\circ }$ , значит, $\displaystyle \angle ABO=\angle OBC=30^{\circ }.$

По теореме синусов для треугольника $ABP$ :

$\displaystyle \frac{AP}{sinB}=2R, AP=2\cdot 10\cdot sin30^{\circ }=10.$

Тогда отрезок $OP$ равен отрезку $AP$ , т.е. $OP = 10$ .

Найдем угол С из треугольника $ABC$ : $\displaystyle \angle C= 180^{\circ }-60^{\circ }-75^{\circ }=45^{\circ }.$

$\displaystyle \angle APO=\angle ACB=45^{\circ }$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу $AB$ .

Площадь треугольника $AOP$ находится по формуле: $\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha.$

$\displaystyle S_{APO}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot PO\cdot sinAPO=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\cdot sin45^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=$
$\displaystyle =25\sqrt{2}.$

Ответ: $\displaystyle 25\sqrt{2}.$

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания $16$ .

Если вам понравился наш материал - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Это полезно