Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

$S=p \cdot r$ ,

где $p=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left( a+b+c \right)$ — полупериметр,

$r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части $C$ :

$S=\genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}$

где $a, b, c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

$1$ . Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен $2$ . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите $c\left( \sqrt{2}-1 \right)$ .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен $a$ . Тогда гипотенуза равна $a\sqrt{2}$ .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

$S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} a^2$

$S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\left( 2a + a\sqrt{2}\right)r$

Приравняв эти выражения, получим, что $a=\left( 2 + \sqrt{2}\right)r$ . Поскольку $r=2$ , получаем, что $a=4+2\sqrt{2}$ . Тогда $c=a\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}=4\left( 1+\sqrt{2} \right)$ .

В ответ запишем $c\left( \sqrt{2}-1 \right)=4$ .

Ответ: $4$ .

$2$ . Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

$\genfrac{}{}{}{0}{AC}{\sin B}=2R$

Получаем, что $\sin B=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$ . Угол $B$ — тупой. Значит, он равен $150^{\circ}$ .

Ответ: $150$ .

$3$ . Боковые стороны равнобедренного треугольника равны $40$ , основание равно $48$ . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

$S=\genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}$

$S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ah$ , где $h$ — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону $AB$ пополам. По теореме Пифагора найдем $h=32$ . Тогда $R=25$ .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания $C4$ .

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше