previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

В треугольнике ABC угол A равен 120^{\circ}. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что AH=AO.

б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=\sqrt{15} ,\angle  ABC=45^{\circ}.

Решение

а) 

По теореме синусов для \triangle ABC:

R_{\triangle ABC}=\frac{BC}{2 sin 120^{\circ}}=\frac{BC}{\sqrt{3}}=R_{\triangle BCH}

\triangle BCH \sim \triangle NMH по углу и двум сторонам. 

Это легко доказать:

\triangle BHN \sim \triangle CHM по двум углам;

\frac{NH}{MH}=\frac{BH}{CH}, отсюда \frac{NH}{BH}=\frac{MH}{CH},

\triangle NMH \sim \triangle BCH, причём k=\frac{MH}{CH}=\cos \angle H.

Значит, \frac{MH}{BC}=cos \angle H=cos 60^{\circ}=\frac{1}{2},

Рассмотрим четырёхугольник MHNA;

LN+LM=90^{\circ}+90^{\circ}, значит,  MHNA можно вписать в окружность, AH - диаметр этой окружности.

По теореме синусов для \triangle AMH:

r_{\triangle AMH} = \frac{MN}{2sin \angle MAN}= \frac{MN}{2sin 120^\circ} = \frac{MN}{\sqrt{3}},

отсюда AH=2r_{\triangle AMN}=\frac{2MN}{\sqrt{3}}.

Мы получили:

OA = R_{\triangle ABC}=\frac{BC}{\sqrt{3}};

AH = \frac{2MN}{\sqrt{3}};

MN=\frac{1}{2}BC, тогда

AH=\frac{BC}{\sqrt{3}}=OA.

б)

Найдём S_{\triangle AOH}, если \angle ABC = 45^\circBC=\sqrt{15}

Пусть n - серединный перпендикуляр к AB.

m - серединный перпендикуляр и AC;

m \cap n =O;

Из пункта (а): AH=AO=\frac{BC}{\sqrt{3}}

Пусть P - середина ABQ - середина AC.

Найдём \angle HAO.

MHNA можно вписать в окружность (смотри п. (а)),

\angle HAN = \angle HMN  (опирается на дугу HN),

\triangle MHN \sim \triangle CHB,   \angle HMN = \angle BCH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ.

\angle NAC = 60^\circ  (смежный с \angle BAC = 120^\circ)

\angle CAO = \angle QPO  (так как четырёхугольник APOQ можно вписать в окружность),

\angle QPO = 90^\circ - \angle APQ = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ.

Значит, \angle HAO = 45^\circ +60^\circ +45^\circ = 150^\circ;

S_{\triangle AOH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AO \cdot sin \angle HAO =  \frac{BC^2}{3\cdot 2} \cdot sin 150^\circ = \frac{BC^2}{12} = \frac{15}{12}=\frac{5}{4}

Ответ: 1,25

Назад