Условие задачи
В треугольнике угол
равен
. Прямые, содержащие высоты
и
треугольника
, пересекаются в точке
. Точка
– центр окружности, описанной около треугольника
.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если
,
.
Решение
По теореме синусов для :
Это легко доказать:
по двум углам;
, отсюда
,
, причём
.
Значит, ,
Рассмотрим четырёхугольник ;
, значит,
можно вписать в окружность,
- диаметр этой окружности.
По теореме синусов для :
,
отсюда .
Мы получили:
;
;
, тогда
.
Найдём , если
,
Пусть - серединный перпендикуляр к
.
- серединный перпендикуляр и
;
;
Из пункта (а):
Пусть - середина
,
- середина
.
Найдём .
можно вписать в окружность (смотри п. (а)),
(опирается на дугу
),
,
.
(смежный с
)
(так как четырёхугольник
можно вписать в окружность),
.
Значит, ;
Ответ: 1,25