Биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Анна Малкова

Пусть $\alpha$ и $\beta$ – смежные углы, $l_1$ – биссектриса угла $\alpha$ , $l_2$ – биссектриса угла $\beta$ . Докажем, что $l_1 \perp l_2$ .

Смежные углы – это углы, имеющие общую сторону, и их сумма равна $180^{\circ}$ . Так как углы $\alpha$ и $\beta$ – смежные, $\angle AOC+ \angle COB=180^{\circ}$ .

$\angle DOC= \frac{1}{2}\alpha$ ,

$\angle COE= \frac{1}{2}\beta$

$\angle DOC + \angle COE = \frac{1}{2} \left ( \alpha + \beta \right )=\frac{1}{2}\cdot 180 ^{\circ} = 90^{\circ}$

$\angle DOE = 90^{\circ}$ .

Значит, $l_1 \perp l_2$ , что и требовалось доказать.

Легко доказать также, что биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей – перпендикулярны. Сделайте это самостоятельно.

Полезные следствия, применяемые в решении задач ЕГЭ:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Задача ЕГЭ по теме «Биссектрисы односторонних углов»

Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны. Угол между ними равен $90 ^{\circ}$

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Это полезно