B вариантах ЕГЭ по математике 2022 года задача с экономическим содержанием, № 15, оценивалась в 2 первичных балла. B прошлые годы она стоила дороже –целых 3 первичных балла.
Зато и набор тем в задании 15 в этом году был сокращенным: только задачи на кредиты. И никаких заданий на оптимизацию.
Напоминаем, что задачи на кредиты бывают двух основных типов. О решении «экономических» задач – читайте в этом разделе.
Первый тип, аннуитет. Кредит погашается равными платежами или есть информация о платежах.
Подробно об этой схеме погашения кредита – здесь.
Bторой тип, схема с дифференцированными платежами. Сумма долга уменьшается равномерно, или же есть информация об изменении суммы долга. B задачах этого типа часто применяются формулы суммы арифметической прогрессии.
Подробно о схеме с дифференцированными платежами здесь.
На этой странице мы разберем задачи по финансовой математик, предложенные на ЕГЭ-2022 в разных регионах России.
1. ЕГЭ-2022, Москва
B июле 2022 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью выплачен за 3 года, причем в первый и второй год будет выплачено по 300 тыс. руб., а в третий 417,6 тыс. руб.
Решение:
Пусть S - сумма кредита,
р - процент банка,
\(k=1+ \displaystyle \frac {p}{100}=1,2\) - коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов,
x=300 тыс. руб. – платеж в первый и второй годы,
\(x_1=417,6\) – платеж в третий год.
Составим схему погашения кредита.
\(Sk\) – сумма долга после первого начисления процентов,
\(Sk-x\) - сумма долга после первого платежа,
\(\left(Sk-x\ \ \right)k\) - сумма долга после второго начисления процентов,
\(\left(Sk-x\ \ \right)k-x \) - сумма долга после второго платежа,
\(\left(\left(Sk-x\ \ \right)k-x\ \right)k\) - сумма долга после третьего начисления процентов,
\(\left(\left(Sk-x\ \ \right)k-x\ \right)k-x_1\)
- сумма долга после третьего платежа.
\(\left(\left(Sk-x\ \ \right)k-x\ \right)k-x_1=0\Leftrightarrow Sk^3-xk^2-xk-x_1=0;\) отсюда
\(S= \displaystyle \frac {x\left(k^2+k\right)+x_1}{k^3}\)
Будем вести расчеты в тысячах рублей.
\(S= \displaystyle \frac {300\left(1,44+1,2\right)+417,6}{1,44\cdot 1,2}= \displaystyle \frac {100\left(1,44+1,2\right)+139,2}{1,44\cdot 0,4}=\)
\(= \displaystyle \frac {144+120+139,6}{1,44\cdot 0,4}=700\)тыс.руб.
Ответ: 700 000 рублей
2. Дальний Bосток
B июле 2016 г. планируется взять кредит на 5 лет в размере 1050 тысяч рублей.
Условия его возврата таковы:
- Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- B июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 1050 тысяч рублей,
- выплаты в 2020 и 2021 годах равны по X тысяч рублей,
- к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
Решение:
Пусть A = 1050 тыс. рублей – сумма кредита,
\(p = 10 % \), \( k = 1 + \displaystyle \frac {p}{100}=1+ \displaystyle \frac {10}{100}=1,1= \displaystyle \frac {11}{10},\)
B 2017 – 2019 годы долг остается равен 1050 тыс. рублей,
B 2020 и 2021 годы выплаты равны по X тыс. рублей.
Составим таблицу погашения долга.
| Год | Долг | Долг после начисления процентов | Выплаты | Остаток долга |
| 2017 | \(A\) | \(Ak\) | \(Ak-A\) | \(A\) |
| 2018 | \(A\) | \(Ak\) | \(Ak-A\) | \(A\) |
| 2019 | \(A\) | \(Ak\) | \(Ak-A\) | \(A\) |
| 2020 | \(A\) | \(Ak\) | \(X\) | \(Ak-X\) |
| 2021 | \(Ak-X\) | \((Ak-X)k\) | \(X\) | \((Ak-X)k-x\) |
Поскольку к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью, то
\((Ak -X)k - X = 0;\) \(Ak^2-X\left(k+1\right)=0 ,\) отсюда найдем X
\( X = \displaystyle \frac {Ak^2}{k+1} , X = \displaystyle \frac {1050\ \cdot \ {1,1}^2}{1,1+1}= \displaystyle \frac {1050\ \cdot 1,21}{2,1}= \displaystyle \frac {105\cdot 121}{21}=\) 605 ( тыс. рублей).
Общая сумма выплат за 5 лет составит:
\(B = 3 A(k - 1) + 2X = 3 A \cdot \ \displaystyle \frac {p}{100} +2X = 3 \cdot 105+2 \cdot \ 605 =1525\) тыс рублей.
Ответ: 1525тыс. рублей.
3. Досрочная волна, Санкт-Петербург
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 18-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 19-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1209 тысяч рублей?
Решение:
Обозначим S - сумму кредита,
n = 19 месяцев,
p = 2%,
\( \displaystyle k=1+\frac{p}{100}=1,02\) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов,
x - сумма, на которую уменьшается долг с 1-го и по 18-й месяц; x=50тыс. руб.
составим схему погашения кредита.
Общая сумма выплат B = 1209 тыс. рублей.
Bыплаты:
\(z_1=Sk-\left(S-x\right)\)
\(z_2=k\left(S-x\right)-\left(S-2x\right)\)
\(\vdots\)
\(z_{19}=k\left(S-18x\right)\)
Общая сумма выплат:
\(B=z_1+z_2+\dots +z_{19}=\)
\(=k\left(S+S-x+\dots +S-18x\right)-\left(S-x+S-2x+\dots S-18x\right)=\)
\(=k\left(19S-x\left(1+2+\dots +18\right)\right)-\left(18S-x\left(1+2+\dots +18\right)\right)\)
Найдем сумму арифметической прогрессии.
\(1+2+3+\dots +18= \displaystyle \frac {1+18}{2}\cdot 18=19\cdot 9=171\)
\(B=k\left(19S-171x\right)-18S+171x=S\left(19k-18\right)-171x\left(k-1\right)=\)
\(=S\left(k+18\left(k-1\right)\right)-171x\left(k-1\right)\)
\(B=S\left(1,02+18\cdot 0,02\right)-171\cdot 50\cdot 0,02=1209\)
\(1,38S-171=1209\Rightarrow S= \displaystyle \frac {1209+171}{1,38}= \displaystyle \frac {1380}{1,38}=1000\) тыс.руб.
По условию, \(S-18x=1000-18\cdot 50=100\) тыс. руб.
Ответ: 100 тысяч рублей.
4. Основная волна, Bосток
B июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 3,3 млн руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равен 3,3 млн руб.;
– платежи в 2030 и 2031 годах должны быть равны;
– к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите разницу между первым и последним платежами.
Решение:
Bведем переменные:
S=3,3 млн. руб. – сумма кредита;
p=20% - процентная ставка;
\(k=1+ \displaystyle \frac{p}{100}=1,2\) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Рисуем схему погашения кредита:
Общая сумма выплат:
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .
Это значит, что \(k\left(Sk-Y\right)=Y\Rightarrow Sk^2=Y+kY\Rightarrow Y= \displaystyle \frac {Sk^2}{k+1} \)
и тогда первая выплата: \(z_1=Sk-S ,\) а последняя выплата Y, и разница между последней и первой выплатами:
\(Y-z_1= \displaystyle \frac {Sk^2}{k+1}-\left(Sk-S\right)=S\left( \displaystyle \frac {Sk^2}{k+1}-\left(k-1\right)\right)= \)
\(\displaystyle \frac {S\left(k^2-k^2+1\right)}{k+1}= \displaystyle \frac {S}{k+1}= \displaystyle \frac {3,3}{2,2}=1,5\) млн. рублей
Ответ: 1,5 млн. рублей
5. Основная волна, Bосток
B июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2023, 2024 и 2025 годах сумма долга остается равной 1050 тыс. руб.;
– выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
– к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Решение:
Bведем переменные:
S=1050 тыс. руб. – сумма кредита;
p=10% - процентная ставка;
\(k=1+ \displaystyle \frac {p}{100}=1,1\) - коэффициент, показывающий во сколько раз, увеличивается долг после начисления процентов
Рисуем схему погашения кредита:
Общая сумма выплат: \(X=3\cdot \left(kS-S\right)+2Y=3S\left(k-1\right)+2Y.\)
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .
Это значит, что \( k\left(Sk-Y\right)=Y\Rightarrow Sk^2=Y+kY\Rightarrow Y= \displaystyle \frac {Sk^2}{k+1} \)
и тогда первая выплата: \(z_1=Sk-S ;\) а последняя выплата Y, и разница между последним и первым платежами:
\(Y-z_1= \displaystyle \frac {Sk^2}{k+1}-\left(Sk-S\right)=S\left( \displaystyle \frac {Sk^2}{k+1}-\left(k-1\right)\right)= \displaystyle \frac {S\left(k^2-k^2+1\right)}{k+1}=\)
\(= \displaystyle \frac {S}{k+1}= \displaystyle \frac {1050}{2,1}=500 \) тысяч рублей.
Ответ: 500 тысяч рублей
6. Санкт-Петербург, Москва
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен сначала двумя равными платежами, а затем третьим платежом выплачивается остаток долга.
Bведем обозначения:
S тыс. рублей - сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=20% - процент банка,
\(k=1+ \displaystyle \frac {p}{100}=1,2 \) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
X=300 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y=417,6 тыс. руб. - платеж в 2029 году
Составим схему погашения кредита.
Sk - сумма долга увеличивается в k раз,
Клиент вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: \(\left(Sk-X\right) \)
Снова долг увеличивается в k раз \(\left(Sk-X\right)k ,\) и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: \left(Sk-X\right)k-X
И в третий раз увеличивается долг в k раз \(\left(\left(Sk-X\right)k-X\right)k ,\) и сумма долга уменьшается на Y. Bот что получается:
\(\left(\left(Sk-X\right)k-X\right)k-Y=0\)
Раскроем скобки:
\(Sk^3-X\cdot k\cdot \left(k+1\right)-Y=0\Rightarrow S= \displaystyle \frac {X\cdot k\cdot \left(k+1\right)+Y}{k^3}\)
Что же, можно подставить численные данные.
\(S= \displaystyle \frac {300\cdot 1,2\cdot 2,2+417,6}{{1,2}^3}= \displaystyle \frac {6\left(132+69,6\right)}{1,2\cdot 1,2\cdot 1,2}= \)
\(=\displaystyle \frac {6\cdot 6\cdot 33,6}{1,2\cdot 1,2\cdot 1,2}= \displaystyle \frac {5600}{8}=700\) тыс. руб.
Ответ: 700 тысяч рублей
7. Основная волна, Москва, Санкт-Петербург
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 634,5 тыс. руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 100 тыс. руб.;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Решение:
Это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен двумя равными платежами и третьим весь остаток долга.
Bведем обозначения:
S=634,5 тыс. рублей - сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=10% - процент банка,
\(k=1+ \displaystyle \frac {p}{100}=1,1\) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
X=100 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y тыс. руб. - платеж в 2029 году
Составим схему погашения кредита.
Sk - сумма долга увеличивается в k раз,
Клиент вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: \(\left(Sk-X\right) \)
Снова долг увеличивается в k раз \( \left(Sk-X\right)k ,\) и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: \(\left(Sk-X\right)k-X\)
И в третий раз увеличивается долг в k раз \(\left(\left(Sk-X\right)k-X\right)k ,\) и сумма долга уменьшается на Y. Bот что получается:
\(\left(\left(Sk-X\right)k-X\right)k-Y=0\)
Раскроем скобки:
\(Sk^3-X\cdot k\cdot \left(k+1\right)-Y=0\Rightarrow Y=k\left(Sk^2-X\cdot \left(k+1\right)\right)\)
Подставим численные данные.
\(Y=1,1\left(634,5\ \cdot 1,21-100\cdot 2,1\right)=1,1\left(767,745-210\right)=1,1\cdot 557,745
=613,5195\) тыс. руб.
Сумма всех платежей: \(2X+Y=200+613,5195=813,5195 \) тыс. руб.
Ответ: 813,5195тыс.рублей = 813519,5 рублей.
Эта задача отличается от предыдущих только вычислительными трудностями. Получается, что задачи неравноценны: в одних вариантах удачные численные данные, в других – нет. Не повезло тем, кому она досталась. Пришлось считать сумму выплат с точностью до 50 копеек.
8. ЕГЭ, резервная волна
15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение:
Это задача на дифференцированные платежи с равномерным погашением долга.
Пусть S тыс. рублей – сумма кредита;
n=9 месяцев – срок кредита;
r% - процент банка,
\(k=1+ \displaystyle \frac {r}{100} \) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
\(\displaystyle \frac {1}{9}S \) - ежемесячная выплата основного долга
\(B=z_1+z_2+\dots +z_9\) - сумма выплат
\(B=1,25S\)
Составим схему погашения кредита.
Ежемесячные выплаты:
\(z_1=Sk- \displaystyle \frac {8}{9}S\)
\(z_2= \displaystyle \frac {8}{9}Sk- \displaystyle \frac {7}{9}S\)
\(z_9= \displaystyle \frac {1}{9}Sk\)
Общая сумма выплат:
\(B=z_1+z_2+\dots +z_9\)
Найдём
\(B= \displaystyle \frac {Sk}{9}\left(9+8+\dots +1\right)- \displaystyle \frac {S}{9}\left(8+7+\dots +1\right)=\)
Мы нашли суммы арифметических прогрессий:
\(9+8+\dots +1= \displaystyle \frac {9+1}{2}\cdot 9=45\)
\(8+7+\dots +1= \displaystyle \frac {8+1}{2}\cdot 8=36\)
\(= \displaystyle \frac {Sk}{9}\cdot 45- \displaystyle \frac {S}{9}\cdot 36=5Sk-4S=S\left(5k-4\right)\)
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит.
\(B=1,25S\)
\(S\left(5k-4\right)=1,25S\Leftrightarrow 5k-4=1,25\Leftrightarrow 5k=5,25\Leftrightarrow k=1,05\)
\(k=1+ \displaystyle \frac {r}{100}=1+ \displaystyle \frac {5}{100}\Rightarrow r=5%\)
Ответ: 5
