Мощность переменного тока

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания.

Переменный ток несёт энергию. Поэтому крайне важным является вопрос о мощности в цепи переменного тока.

Пусть \(U\) и \(I\) — мгновенные значение напряжения и силы тока на данном участке цепи. Возьмём малый интервал времени \(dt\) — настолько малый, что напряжение и ток не успеют за это время сколько-нибудь измениться; иными словами, величины \(U\) и \(I\) можно считать постоянными в течение интервала \(dt\).

Пусть за время \(dt\) через наш участок прошёл заряд \(dq = Idt\) (в соответствии с правилом выбора знака для силы тока заряд \(dq\) считается положительным, если он переносится в положительном направлении, и отрицательным в противном случае). Электрическое поле движущихся зарядов совершило при этом работу

\(dA = Udq = UIdt.\)

Мощность тока \(P\) — это отношение работы электрического поля ко времени, за которое эта работа совершена:

\(P= I_0 \frac{\displaystyle dA}{\displaystyle dt \vphantom{1^a}} = UI.\) (1)

Точно такую же формулу мы получили в своё время для постоянного тока. Но в данном случае мощность зависит от времени, совершая колебания вместе током и напряжением; поэтому величина (1) называется ещё мгновенной мощностью.

Из-за наличия сдвига фаз сила тока и напряжение на участке не обязаны совпадать по знаку (например, может случиться так, что напряжение положительно, а сила тока отрицательна, или наоборот). Соответственно, мощность может быть как положительной, так и отрицательной. Рассмотрим чуть подробнее оба этих случая.

1. Мощность положительна: \(P\) > 0. Напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки. Это означает, что направление тока совпадает с направлением электрического поля зарядов, образующих ток. В таком случае энергия участка возрастает: она поступает на данный участок из внешней цепи (например, конденсатор заряжается).

2. Мощность отрицательна: \(P\) < 0. Напряжение и сила тока имеют разные знаки. Стало быть, ток течёт против поля движущихся зарядов, образующих этот самый ток.

Как такое может случиться? Очень просто: электрическое поле, возникающее на участке, как бы «перевешивает» поле движущихся зарядов и «продавливает» ток против этого поля. В таком случае энергия участка убывает: участок отдаёт энергию во внешнюю цепь (например, конденсатор разряжается).

Если вы не вполне поняли, о чём только что шла речь, не переживайте — дальше будут конкретные примеры, на которых вы всё и увидите.

Мощность тока через резистор

Пусть переменный ток \(I = I_0 \sin \omega t\) протекает через резистор сопротивлением \(R\). Напряжение на резисторе, как нам известно, колеблется в фазе с током:

\(U = IR = I_0 R \sin \omega t = U_0 \sin \omega t.\)

Поэтому для мгновенной мощности получаем:

\(P = UI= U_0 I_0 \sin^2 \omega t = P_0 \sin^2 \omega t.\) (2)

График зависимости мощности (2) от времени представлен на рис. 1. Мы видим, что мощность всё время неотрицательна — резистор забирает энергию из цепи, но не возвращает её обратно в цепь.

Рис. 1. Мощность переменного тока через резистор

Максимальное значение \(P_0\) нашей мощности связано с амплитудами тока и напряжения привычными формулами:

\(P_0=U_0 I_0 = I_0^2 R = \frac{\displaystyle U_0^2}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}.\)

На практике, однако, интерес представляет не максимальная, а средняя мощность тока. Это и понятно. Возьмите, например, обычную лампочку, которая горит у вас дома. По ней течёт ток частотой \(50\) Гц, т. е. за секунду совершается \(50\) колебаний силы тока и напряжения. Ясно, что за достаточно продолжительное время на лампочке выделяется некоторая средняя мощность, значение которой находится где-то между \(0\) и \(P_0\). Где же именно?

Посмотрите ещё раз внимательно на рис. 1. Не возникает ли у вас интуитивное ощущение, что средняя мощность соответствует «середине» нашей синусоиды и принимает поэтому значение \(P_0/2\)?

Это ощущение совершенно верное! Так оно и есть. Разумеется, можно дать математически строгое определение среднего значения функции (в виде некоторого интеграла) и подтвердить нашу догадку прямым вычислением, но нам это не нужно. Достаточно интуитивного понимания простого и важного факта:

среднее значение квадрата синуса (или косинуса) за период равно \(1/2\).

Этот факт иллюстрируется рисунком 2.

Рис. 2. Среднее значение квадрата синуса равно \(1/2\)

Итак, для среднего значения \(\bar{P}\) мощности тока на резисторе имеем:

\(\bar{P}= \frac{\displaystyle P_0}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle U_0 I_0}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle I_0^2 R}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle U_0^2}{\displaystyle 2R \vphantom{1^a}}.\) (3)

В связи с этими формулами вводятся так называемые действующие (или эффективные) значения напряжения и силы тока (на самом деле это есть не что иное, как средние квадратические значения напряжения и тока. Такое у нас уже встречалось: средняя квадратическая скорость молекул идеального газа (листок «Уравнение состояния идеального газа»):

\(\bar{U}= \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle \sqrt(2) \vphantom{1^a}}, \ \ \bar{I}= \frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \sqrt(2) \vphantom{1^a}}.\) (4)

Формулы (3), записанные через действующие значения, полностью аналогичны соответствующим формулам для постоянного тока:

\(\bar{P}=\bar{U} \bar{I} = \bar{I}^2 R = \frac{\displaystyle \bar{U}^2}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}.\)

Поэтому если вы возьмёте лампочку, подключите её сначала к источнику постоянного напряжения \(U\), а затем к источнику переменного напряжения с таким же действующим значением \(U\), то в обоих случаях лампочка будет гореть одинаково ярко.

Действующие значения (4) чрезвычайно важны для практики. Оказывается, вольтметры и амперметры переменного тока показывают именно действующие значения (так уж они устроены). Знайте также, что пресловутые \(220\) вольт из розетки — это действующее значение напряжения бытовой электросети.

Мощность тока через конденсатор

Пусть на конденсатор подано переменное напряжение \(U = U_0 \sin \omega t\). Как мы знаем, ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на \(\pi\):

\(I = I_0 \sin \left ( \omega t + \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right ) = I_0 \cos \omega t.\)

Для мгновенной мощности получаем:

\(P = UI = U_0 I_0 \sin \omega t \cos \omega t = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}U_0 I_0 \sin2 \omega t = P_0 \sin2 \omega t.\)

График зависимости мгновенной мощности от времени представлен на рис. 3.

Рис. 3. Мощность переменного тока через конденсатор

Чему равно среднее значение мощности? Оно соответствует «середине» синусоиды и в данном случае равно нулю! Мы видим это сейчас как математический факт. Но интересно было бы с физической точки зрения понять, почему мощность тока через конденсатор оказывается нулевой.

Для этого давайте нарисуем графики напряжения и силы тока в конденсаторе на протяжении одного периода колебаний (рис. 4).

Рис. 4. Напряжение на конденсаторе и сила тока через него

Рассмотрим последовательно все четыре четверти периода.

1. Первая четверть, 0 < \(t \) < \(\frac{T}{4}\). Напряжение положительно и возрастает. Ток положителен (течёт в положительном направлении), конденсатор заряжается. По мере увеличения заряда на конденсаторе сила тока убывает.

Мгновенная мощность положительна: конденсатор накапливает энергию, поступающую из внешней цепи. Эта энергия возникает за счёт работы внешнего электрического поля, продвигающего заряды на конденсатор.

2. Вторая четверть, \(\frac{T}{4}\) < \(t\) < \(\frac{T}{2}\). Напряжение продолжает оставаться положительным, но идёт на убыль. Ток меняет направление и становится отрицательным: конденсатор разряжается против направления внешнего электрического поля.В конце второй четверти конденсатор полностью разряжен.

Мгновенная мощность отрицательна: конденсатор отдаёт энергию. Эта энергия возвращается в цепь: она идёт на совершение работы против электрического поля внешней цепи (конденсатор как бы «продавливает» заряды в направлении, противоположном тому, в котором внешнее поле «хочет» их двигать).

3. Третья четверть, \(\frac{T}{2}\) < \(t\) < \(3\frac{T}{4}\). Внешнее электрическое поле меняет направление: напряжение отрицательно и возрастает по модулю. Сила тока отрицательна: идёт зарядка конденсатора в отрицательном направлении.

Ситуация полностью аналогична первой четверти, только знаки напряжения и тока — противоположные. Мощность положительна: конденсатор вновь накапливает энергию.

4. Четвёртая четверть, \(3\frac{T}{4}\) < \(t\) < \(T\). Напряжение отрицательно и убывает по модулю. Конденсатор разряжается против внешнего поля: сила тока положительна.

Мощность отрицательна: конденсатор возвращает энергию в цепь. Ситуация аналогична второй четверти — опять-таки с заменой заменой знаков тока и напряжения на противоположные.

Мы видим, что энергия, забранная конденсатором из внешней цепи в ходе первой четверти периода колебаний, полностью возвращается в цепь в ходе второй четверти. Затем этот процесс повторяется вновь и вновь. Вот почему средняя мощность, потребляемая конденсатором, оказывается нулевой.

Мощность тока через катушку

Пусть на катушку подано переменное напряжение \(U = U_0 \sin \omega t\). Ток через катушку отстаёт по фазе от напряжения на \(\pi/2\):

\(I = I_0 \sin \left ( \omega t - \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right ) = -I_0 \cos \omega t.\)

Для мгновенной мощности получаем:

\(P = UI = -U_0 I_0 \sin \omega t \cos \omega t = -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}U_0 I_0 \sin2 \omega t = -P_0 \sin2 \omega t.\)

Снова средняя мощность оказывается равной нулю. Причины этого, в общем-то, те же, что и в случае с конденсатором. Рассмотрим графики напряжения и силы тока через катушку за период (рис. 5).

Рис. 5. Напряжение на катушке и сила тока через неё

Мы видим, что в течение второй и четвёртой четвертей периода энергия поступает в катушку из внешней цепи. В самом деле, напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки, сила тока возрастает по модулю; для создания тока внешнее электрическое поле совершает работу против вихревого электрического поля, и эта работа идёт на увеличение энергии магнитного поля катушки.

В первой и третьей четвертях периода напряжение и сила тока имеют разные знаки: катушка возвращает энергию в цепь. Вихревое электрическое поле, поддерживающее убывающий ток, двигает заряды против внешнего электрического поля и совершает тем самым положительную работу. А за счёт чего совершается эта работа? За счёт энергии, накопленной ранее в катушке.

Таким образом, энергия, запасаемая в катушке за одну четверть периода, полностью возвращается в цепь в ходе следующей четверти. Поэтому средняя мощность, потребляемая катушкой, оказывается равной нулю.

Мощность тока на произвольном участке

Теперь рассмотрим самый общий случай. Пусть имеется произвольный участок цепи — он может содержать резисторы, конденсаторы, катушки...На этот участок подано переменное напряжение \(U = U_0 \sin \omega t\).

Как мы знаем из предыдущего листка «Переменный ток. 2», между напряжением и силой тока на данном участке имеется некоторый сдвиг фаз \(\alpha\). Мы записывали это так:

\(I = I_0 \sin(\omega t - \alpha).\)

Тогда для мгновенной мощности имеем:

\(P = U_0 I_0 \sin \omega t \sin(\omega t - \alpha).\) (5)

Теперь нам хотелось бы определить, чему равна средняя мощность. Для этого мы преобразуем выражение (5), используя формулу:

\(\sin x \sin y = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} (\cos (x-y) - \cos (x+y)).\)

В результате получим:

\(P = U_0 I_0 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} ( \cos \alpha - \cos (2 \omega t - \alpha)).\) (6)

Но среднее значение величины \(\cos (2 \omega t - \alpha)\) равно нулю! Поэтому средняя мощность оказывается равной:

\(\bar{P} = U_0 I_0 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \ cos \alpha.\) (7)

Данную формулу можно записать с помощью действующих значений (4) напряжения и силы тока:

\(\bar{P} = \bar{U} \bar{I} \cos \alpha.\)

Формула (7) охватывает все три рассмотренные выше ситуации. В случае резистора имеем \(\alpha = 0\), и мы приходим к формуле (3). Для конденсатора и катушки \(\alpha = \pi/2\), и средняя мощность равна нулю.

Кроме того, формула (7) даёт представление о весьма общей проблеме, связанной с передачей электроэнергии. Чрезвычайно важно, чтобы \(\cos \alpha\) у потребителя был как можно ближе к единице. Иначе потребитель начнёт возвращать значительную часть энергии назад в сеть (что ему совсем невыгодно), и к тому же возвращаемая энергия будет безвозвратно расходоваться на нагревание проводов и других элементов цепи.

С этой проблемой приходится сталкиваться разработчикам электрических схем, содержащих электродвигатели. Обмотки электродвигателей обладают большими индуктивностями, и возникает ситуация, близкая к «чистой» катушке. Чтобы избежать бесполезного циркулирования энергии по сети, в цепь включают дополнительные элементы, сдвигающие фазу — например, так называемые компенсирующие конденсаторы.