Темы кодификатора ЕГЭ: построение изображений в линзах, формула тонкой линзы.
Правила хода лучей в тонких линзах, сформулированные в предыдущей теме, приводят нас к важнейшему утверждению.
Теорема об изображении. Если перед линзой находится светящаяся точка , то после преломления в линзе все лучи (или их продолжения) пересекаются в одной точке
.
Напомним ещё раз, что это касается не вообще всех лучей, а только параксиальных, то есть образующих малые углы с главной оптической осью. В предыдущей теме мы договорились, что рассматриваем только параксиальные лучи. Лишь для них работают наши правила хода лучей сквозь тонкие линзы. |
Точка называется изображением точки
.
Если в точке пересекаются сами преломлённые лучи, то изображение называется действительным. Оно может быть получено на экране, так как в точке
концентрируется энергия световых лучей.
Если же в точке пересекаются не сами преломлённые лучи, а их продолжения (так бывает, когда преломлённые лучи расходятся после линзы), то изображение называется мнимым. Его нельзя получить на экране, поскольку в точке
не сосредоточено никакой энергии. Мнимое изображение, напомним, возникает благодаря особенности нашего мозга - достраивать расходящиеся лучи до их мнимого пересечения и видеть в этом пересечении светящуюся точку.Мнимое изображение существует лишь в нашем сознании.
Теорема об изображении служит основой построения изображений в тонких линзах. Мы докажем эту теорему как для собирающей, так и для рассеивающей линзы.
Первый случай: . Точечный источник света
расположен дальше от линзы, чем левая фокальная плоскость (рис. 1).
![]() |
Рис. 1. Случай a>f: действительное изображение точки S |
Луч , идущий через оптический центр, не преломляется. Мы возьмём произвольный луч
, построим точку
, в которой преломлённый луч пересекается с лучом
, а затем покажем, что положение точки
не зависит от выбора луча
(иными словами, точка
является одной и той же для всевозможных лучей
). Тем самым окажется, что все лучи, исходящие из точки
, после преломления в линзе пересекаются в точке
и теорема об изображении будет доказана для рассматриваемого случая
.
Точку мы найдём, построив дальнейший ход луча
. Делать это мы умеем: параллельно лучу
проводим побочную оптическую ось
до пересечения с фокальной плоскостью в побочном фокусе
, после чего проводим преломлённый луч
до пересечения с лучом
в точке
.
Теперь будем искать расстояние от точки
до линзы. Мы покажем, что это расстояние выражается только через
и
, т. е. определяется лишь положением источника и свойствами линзы, и не зависит тем самым от конкретного луча
.
Опустим перпендикуляры и
на главную оптическую ось. Проведём также
параллельно главной оптической оси, т. е. перпендикулярно линзе. Получим три пары подобных треугольников:
, (1)
, (2)
. (3)
В результате имеем следующую цепочку равенств (номер формулы над знаком равенства указывает, из какой пары подобных треугольников данное равенство получено).
(4)
Но , так что соотношение (4) переписывается в виде:
. (5)
Отсюда находим искомое расстояние от точки до линзы:
. (6)
Как видим, оно и в самом деле не зависит от выбора луча . Следовательно, любой луч
после преломления в линзе пройдёт через построенную нами точку
, и эта точка будет действительным изображением источника
Теорема об изображении в данном случае доказана.
Практическая важность теоремы об изображении состоит вот в чём. Коль скоро все лучи источника пересекаются после линзы в одной точке - его изображении
- то для построения изображения достаточно взять два наиболее удобных луча. Какие именно?
Если источник не лежит на главной оптической оси, то в качестве удобных лучей годятся следующие:
- луч, идущий через оптический центр линзы - он не преломляется;
- луч, параллельный главной оптической оси - после преломления он идёт через фокус.
Построение изображения с помощью этих лучей показано на рис. 2.
![]() |
Рис. 2. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси |
Если же точка лежит на главной оптической оси, то удобный луч остаётся лишь один - идущий вдоль главной оптической оси. В качестве второго луча приходится брать "неудобный" (рис. 3).
![]() |
Рис. 3. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси |
Посмотрим ещё раз на выражение ( 5). Его можно записать в несколько ином виде, более симпатичном и запоминающемся. Перенесём сначала единицу влево:
Теперь разделим обе части этого равенства на a:
(7)
Соотношение (7) называется формулой тонкой линзы (или просто формулой линзы). Пока что формула линзы получена для случая собирающей линзы и для . В дальнейшем мы выведем модификации этой формулы для остальных случаев.
Теперь вернёмся к соотношению (6). Его важность не исчерпывается тем, что оно доказывает теорему об изображении. Мы видим также, что не зависит от расстояния
(рис. 1, 2) между источником
и главной оптической осью!
Это означает, что какую бы точку отрезка
мы ни взяли, её изображение будет находиться на одном и том же расстоянии
от линзы. Оно будет лежать на отрезке
- а именно, на пересечении отрезка
с лучом
, который пойдёт сквозь линзу без преломления. В частности, изображением точки
будет точка
.
Тем самым мы установили важный факт: изображением отрезка лужит отрезок
. Отныне исходный отрезок, изображение которого нас интересует, мы называем предметом и обозначаем на рисунках красной стрелочкой. Направление стрелки нам понадобится для того, чтобы следить - прямым или перевёрнутым получается изображение.
1. . Изображение предмета является действительным, перевёрнутым, увеличенным (рис. 4; двойной фокус обозначен
). Из формулы линзы следует, что в этом случае будет
(почему?).
![]() |
Рис. 4. |
Такая ситуация реализуется, например, в диапроекторах и киноаппаратах - эти оптические приборы дают на экране увеличенное изображение того, что находится на плёнке. Если вам доводилось показывать слайды, то вы знаете, что слайд нужно вставлять в проектор перевёрнутым - чтобы изображение на экране выглядело правильно, а не получилось вверх ногами.
Отношение размера изображения к размеру предмета называется линейным увеличением линзы и обозначается Г - (это заглавная греческая "гамма"):
.
Из подобия треугольников и
получим:
. (8)
Формула (8) применяется во многих задачах, где фигурирует линейное увеличение линзы.
2. . В этом случае из формулы (6) находим, что и
. Линейное увеличение линзы согласно (8) равно единице, т. е. размер изображения равен размеру предмета (рис. 5).
![]() |
Рис. 5.a=2f: размер изображения равен размеру предмета |
3. . В этом случае из формулы линзы следует, что
(почему?). Линейное увеличение линзы будет меньше единицы - изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное (рис. 6).
![]() |
Рис. 6.a>2f: изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное |
Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов - словом, тех, в которых получают изображения удалённых объектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости.
Рассмотрение первого случая нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным.
![]() |
Рис. 7. Случай a < f: мнимое изображение точки |
Наряду с лучом , идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч
. Однако теперь на выходе из линзы получаются два расходящихся луча
и
. Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке
.
Теорема об изображении утверждает, что точка будет одной и той же для всех лучей
, исходящих из точки
. Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников:
Снова обозначая через расстояние от
до линзы, имеем соответствующую цепочку равенств (вы уже без труда в ней разберётесь):
. (9)
Отсюда
. (10)
Величина не зависит от луча
, что и доказывает теорему об изображении для нашего случая
. Итак,
- мнимое изображение источника
. Если точка
не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения
удобнее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис. 8).
![]() |
Рис. 8. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси |
Ну а если точка лежит на главной оптической оси, то деваться некуда - придётся довольствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис. 9).
![]() |
Рис. 9. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси |
Соотношение (9) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая . Сначала переписываем это соотношение в виде:
,
а затем делим обе части полученного равенства на a:
. (11)
Сравнивая (7) и (11), мы видим небольшую разницу: перед слагаемым стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое.
Величина , вычисляемая по формуле (10), не зависит также от расстояния
между точкой
и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой
), это означает, что изображением отрезка
на рис. 9 будет отрезок
.
![]() |
Рис. 10. |
Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло - лупу. Случай полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего первого случая
. Это не удивительно - ведь между ними лежит промежуточный "катастрофический" случай
.
Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка после преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости - а именно, в главном фокусе, если пучок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном падении пучка. Воспользовавшись обратимостью хода лучей, мы заключаем, что все лучи источника , расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу.
![]() |
Рис. 11. a=f: изображение отсутствует |
Где же изображение точки ? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изображении сохраняет свою силу и в данном случае - изображение
находится на бесконечности.
Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать).
Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе.
Снова берём луч и произвольный луч
(рис. 12). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча
и
, которые наш глаз достраивает до пересечения в точке
.
![]() |
Рис. 12. Мнимое изображение точки S в рассеивающей линзе |
Нам снова предстоит доказать теорему об изображении - о том, что точка будет одной и той же для всех лучей
. Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников:
.
Имеем:
(12)
Отсюда
. (13)
Величина b не зависит от луча span
, поэтому продолжения всех преломлённых лучей span
пересекутся в точке
- мнимом изображении точки
. Теорема об изображении тем самым полностью доказана.
Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы (6) и (10). В случае их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации
и
.
А вот у формулы (13) знаменатель не обращается в нуль ни при каком a. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника - случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один.
Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой - параллельно главной оптической оси (рис. 13).
![]() |
Рис. 13. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси |
Если же точка лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произвольным (рис. 14).
![]() |
Рис. 14. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси |
Соотношение (13) даёт нам ещё один вариант формулы линзы. Сначала перепишем:
,
а потом разделим обе части полученного равенства на a:
(14)
Так выглядит формула линзы для рассеивающей линзы.
Три формулы линзы (7), (11) и (14) можно записать единообразно:
если соблюдать следующую договорённость о знаках:
- для мнимого изображения величина считается отрицательной;
- для рассеивающей линзы величина считается отрицательной.
Это очень удобно и охватывает все рассмотренные случаи.
![]() |
Рис. 15. Изображение мнимое, прямое, уменьшенное |