Электродинамика. Квантовая физика. Расчетная задача
В. З. Шапиро
Заключительное задание ЕГЭ по физике относится к высокому уровню сложности. Как правило, это задача по оптике. Ее решение необходимо сопровождать соответствующим чертежом, так как проведение рассуждений без ссылок на рисунок, абсолютно бессмысленно.
Иногда, в этом номере может встретиться задача и по ядерной физике, возможно задача и по фотоэффекту.
1. В плоскости, параллельной плоскости тонкой собирающей линзы, по окружности со скоростью \({ \upsilon }\)=5 м/с движется точечный источник света. Расстояние между плоскостями d=15 см. Центр окружности находится на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы F=10 см. Найдите скорость движения изображения точечного источника света. Сделайте пояснительный чертёж, указав ход лучей в линзе.
Необходимая теория:
Тонкие линзы. Построение изображений
Дано: «СИ»
\({ \upsilon }=5\) м/с;
d=15 см; 0,15 м;
F=10 см. 0,10 м.
Найти: \(v_{1}\) – ?
Решение:
Построим изображение источника света в линзе. Изображением светящейся точки А будет точка \(A_{1}.\) Введём обозначения: радиус, по которому движется источник света, r=AB; радиус, по которому движется изображение источника света, \(R=A_{1} B_{1};\) расстояние OB=d; расстояние \(OB_{1} =f,\) фокусное расстояние линзы OF=F.
Пояснительный чертеж с учетом хода световых лучей сделан на рис. 1.
Рис. 1
Применим формулу тонкой линзы для отрезка АВ и его изображения \(A_{1}B_{1}.\)
\(\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}\)
\(\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{d-F}{Fd}\)
\(\displaystyle f=\frac{Fd}{d-F} (1).\)
Проведем расчет расстояния f, на котором получилось изображение.
\(\displaystyle f=\frac{0,1\cdot 0,15}{0,15-0,1}=0,3\) (м).
Увеличение линзы можно рассчитать по формуле 
где H – размер предмета, а h – размер его изображения.
Для данной задачи увеличение линзы равно:
Точечный источник света вращается по окружности r = AB, его изображение по окружности \(R = A_{1}B_{1}.\)
Отсюда, \(\displaystyle \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{R}{r}=2.\)
Так как периоды их обращений источника и его изображения равные, то можно записать следующие равенства:
\(\displaystyle T_1=\frac{2\pi r}{v}\ \ T_2=\frac{2\pi R}{v_1}\)
\(T_1=T_2\ \)
\(\displaystyle \frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi R}{v_1}\ v_1=v\cdot \frac{R}{r}.\)
С подстановкой численных значений получим:
\(v_1=5\cdot 2=10\) м/c.
Ответ: 10 м/с.
Секрет решения. Первостепенным моментом в этой задаче является грамотное построение чертежа. Для этого надо знать ход основных лучей через тонкую линзу и ход произвольного луча, падающего на линзу.
Применять формулу тонкой линзы надо с учетом правила знаков:
\(F\textgreater 0,\) если линза собирающая;
\(F\textless 0,\) если линза рассеивающая;
\(f\textgreater 0,\) если изображение действительное;
\(f\textless 0,\) если изображение мнимое.
Также, при использовании формулы тонкой линзы, надо иметь ввиду,
что \(d\to \infty ,\) если на линзу падает пучок параллельных световых лучей (см. рис.)
Кроме этого, должно быть понимание термина «увеличение линзы» – величина, показывающая во сколько раз размер изображения предмета больше (меньше) реальных размеров самого предмета
Если Г > 1, изображение увеличенное.
Если Г < 1, изображение уменьшенное.
2. Прямоугольный треугольник расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F=20 см, как показано на рисунке. Катет треугольника, расположенный на главной оптической оси, имеет длину A=2 см, а его гипотенуза составляет угол \(\alpha =60^\circ\) с главной оптической осью линзы. Определите тангенс угла, который составляет с главной оптической осью линзы гипотенуза даваемого линзой изображения этого треугольника. Постройте изображение треугольника в линзе.
Необходимая теория:
Тонкие линзы. Построение изображений
Дано: «СИ»
F=20 см; 0,2 м;
A=2 см; 0,02 м.
\(\alpha =60^\circ .\)
Найти: \(tg\beta\) – ?
Решение:
Построим изображение треугольника, используя свойства линзы:
А) луч, прошедший через оптический центр О, не преломляется;
Б) параллельный пучок лучей пересекается в фокальной плоскости (см. рис. 1)
Рис. 1
На рис. 1 с – катет треугольника АВС, С – вершина треугольника АВС.
Согласно формуле тонкой линзы, изображение вертикального катета АВ будет располагаться также на двойном фокусном расстоянии.
\(\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2F}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}\)
\(\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{2F}=\frac{2-1}{2F}=\frac{1}{2F}\)
\(f=2F.\)
Увеличение линзы Г для этого катета будет равно 1, то есть \(AB=A'B'.\)
Из треугольника АВС найдем высоту катета АВ.
\(\displaystyle \frac{h}{c}=tg \alpha; \ h=AB=c \cdot tg \alpha. \)
Проведем расчет:
\(h=AB=0,02\cdot tg 60^\circ \approx 0,0346\) (м).
Так как АС = с = 2 см, то СО = АО – АС; СО = 0,4 - 0,02 = 0,38 (м).
Используя формулу тонкой линзы найдем изображение точки С на главной оптической оси.
\(\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F},\) где \(d = OC, f = OC'.\)
\(\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{d-F}{Fd}\)
\(\displaystyle f=\frac{Fd}{d-F}\)
\(\displaystyle f=\frac{0,2\cdot 0,38}{0,38-0,2}\approx 0,422\) (м).
Катет \(A' C'\) треугольника \(A'B'C' \) можно найти следующим образом:
\(A' C' = OC' - OA'.\)
\(A' C' = 0,422 - 0,4 = 0,022\) (м).
Выразим \({tg \beta }\) из треугольника \(A'B'C'.\)
\(\displaystyle {tg \beta =\frac{ A'B'}{A'C'}}\)
\(\displaystyle {tg \beta =\frac{0,0346 }{0,022}\approx 1,57 }.\)
Ответ: 1,57.
Секрет решения. Данное решение не является единственно возможным. Можно решать через подобие треугольников ABC и COD и треугольников ODCʹ и AʹBʹCʹ (см. рис. 2) Но этот путь является более трудным, чем тот, который представлен в приведенном решении.
Рис. 1
Выделим опорные моменты в решении:
- чертеж с учетом хода лучей в тонких линзах;
- формула тонкой линзы с правилами знаков;
- формула увеличения линзы;
- соотношения в прямоугольном треугольнике.
3. В опыте по изучению фотоэффекта монохроматическое излучение мощностью Р = 0,21 Вт падает на поверхность катода, в результате чего в цепи возникает ток. График зависимости силы тока I от напряжения U между анодом и катодом приведён на рисунке. Какова частота \(\nu\) падающего света, если в среднем один из 30 фотонов, падающих на катод, выбивает электрон?
Необходимая теория:
Дано: «СИ»
Р = 0,21 Вт;
\(I_{max} = 2\) мА; \(2\cdot {10}^{-3}\) А.
Найти: \(\vartheta\) - ?
Решение:
Энергию одного фотона можно определить по формуле Планка:
\(E_1=h\vartheta .\)
Для числа фотонов, равного 
, эта формула примет вид:
С учетом мощности излучения Р за время t энергию излучения можно записать по-другому:
В результате фотоэффекта с поверхности катода выбиваются электроны. Суммарный заряд, переносимый этими электронами, можно выразить как:
\(q=N_ee\ \ \ (2),\)
где \(N_e\) – количество выбиваемых электронов, е – модуль заряда электрона.
С другой стороны, заряд можно выразить через максимальную силу тока и время излучения:
\(q=I_{max}t \) (3).
Приравнивая (2) и (3) получим:
\(N_{e} e=I_{max}t\) (4).
Объединим уравнения (1) и (4) в систему:
Разделим уравнение (5) на уравнение (6).
\(\displaystyle \vartheta =\frac{0,21\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}}{2\cdot {10}^{-3}\cdot 6,6\cdot {10}^{-34}\cdot 30}\approx 8,48\cdot {10}^{14}\) (Гц).
Ответ: \(8,48\cdot {10}^{14}\) Гц.
Секрет решения. Задачи на тему «Фотоны, явление фотоэффекта» не являются сверхтрудными. Здесь не требуется построения сложных логических моделей, которые описывают ситуации в задачах. Это связано прежде всего с тем, что это явление фотоэффекта легко для понимания и описывается простыми формулами. Особенностью этой задачи является условие, что только один из тридцати падающих фотонов, выбивает электрон. В обычных задачах считалось, что каждый фотон выбивает по одному электрону. Понимание и математическое описание этого факта уже при краткой записи условия 
является ключевым моментом решения. Применение формулы Планка, выражение заряда через силу тока и время добавляет все необходимое для составления полной картины решения задачи.
