Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Геометрический парадокс: катет равен гипотенузе

Геометрический парадокс: катет равен гипотенузе

Мы уже доказали, что прямой угол равен тупому. Теперь докажем, что в прямоугольном треугольнике катет равен гипотенузе :-)

Построим прямоугольный треугольник $ABC$ , угол $C$ равен $90$ градусов.
Пусть точка $D$ — середина $BC$ .
Проведем лучи $n$ — биссектрису угла $A$ , и $m$ — серединный перпендикуляр к $BC$ .
Лучи $n$ и $m$ пересекаются в точке $O$ .

Опустим из точки $O$ перпендикуляры на стороны $AB$ и $AC$ . Точки $M$ и $N$ — основания этих перпендикуляров.
Рассмотрим треугольники $AMO$ и $ANO$ .
Они равны, так как оба они — прямоугольные, угол $MAO$ равен углу $NAO$ (по построению), гипотенуза $AO$ — общая. Следовательно, $OM=ON$ , $AM=AN$ .

Рассмотрим треугольники $COD$ и $OBD$ . Они равны, так как $OD$ — серединный перпендикуляр к $BC$ (по построению), то есть медиана и высота треугольника $COB$ . Следовательно, $OC=OB$ .

Рассмотрим треугольники $MCO$ и $N \mkern -2mu BO$ . Они оба — прямоугольные, $OC=OB$ , $OM=ON$ (по доказанному),
следовательно, треугольник $MCO$ равен треугольнику $N \mkern -2mu BO$ , и поэтому $MC=N \mkern -2mu B$ .

Ну а дальше всё просто :-)
Как мы уже доказали, $MC=N \mkern -2mu B$ , $AM=AN$ . Следовательно,

$MC+AM=N \mkern -2mu B+AN$ ,
$AC=AB$ , катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать :-)

Попробуйте сами разобраться, где вас обманули. Сделайте аккуратный чертеж. Проверьте каждый пункт «доказательства». Желаем удачи!

«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть «B» и задачу «C1». Просто, понятно и доступно. Автор - репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене ~~5000~~ 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Геометрический парадокс: катет равен гипотенузе» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Геометрический парадокс: катет равен гипотенузе

«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»

Это полезно