Slider

Геометрический парадокс: прямой угол равен тупому

Я очень люблю эту задачу. Мне нравится наблюдать за реакцией учеников и за процессом поиска решения. Самое приятное - что доказательство полностью соответствует чертежу, основано на известных теоремах, и логических ошибок нет ни в одном его пункте :-)

Итак, прямой угол равен тупому, и сейчас мы это докажем.

Прямой угол равен тупому?!

Построение.

Проведем отрезок AB. Построим углы C \mkern -2mu AB – прямой и AB \mkern -2mu D – тупой.

Построим отрезки AC=B \mkern -2mu D.

Соединим точки C и D.

Пусть M — середина AB, K — середина CD.
Проведем серединный перпендикуляр M \mkern -2mu N к отрезку AB и серединный перпендикуляр K \mkern -2mu N к отрезку CD.
M \mkern -2mu N и K \mkern -2mu N пересекаются в точке N.

Доказательство.

  1. Рассмотрим треугольник ABN. Он равнобедренный — поскольку M — середина AB,
    M \mkern -2mu N перпендикулярен AB (по построению), а если в треугольнике высота одновременно является медианой,
    значит, он равнобедренный. Следовательно, AN=BN, угол M \mkern -2mu AN равен углу M \mkern -2mu BN.
  2. Аналогично, треугольник CDN — равнобедренный, следовательно,
    CN=DN.
  3. Рассмотрим треугольники C \mkern -2mu AN и D \mkern -2mu B \mkern -2mu N.
    Поскольку AN=BN, CN=DN (по доказанному), а AC=B \mkern -2mu D (по построению), значит, треугольник C \mkern -2mu AN равен треугольнику D \mkern -2mu B \mkern -2mu N (по трём сторонам).
    Следовательно, угол C \mkern -2mu AN равен углу D \mkern -2mu B \mkern -2mu N.
  4. Мы доказали, что
    угол C \mkern -2mu AN равен углу D \mkern -2mu B \mkern -2mu N,
    угол M \mkern -2mu AN равен углу M \mkern -2mu BN.
  5. Поскольку угол C \mkern -2mu AN равен сумме углов M \mkern -2mu AN и CAM,
    а угол D \mkern -2mu B \mkern -2mu N равен сумме углов M \mkern -2mu BN и DB \mkern -2mu A, мы получаем, что
    угол C \mkern -2mu AM равен углу DB \mkern -2mu A.

Получили, что прямой угол равен тупому. Что и требовалось доказать :-)

Чтобы разгадать этот парадокс, сделайте аккуратный чертеж. Тогда вы кое-что заметите.
Если вы учитель или репетитор – дайте эту задачу своим ученикам. Ведь они привыкли, что чертёж должен быть верным, а преподаватель — авторитет и поэтому всегда говорит правду :-)

Еще один геометрический парадокс: Катет равен гипотенузе.

видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ

«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть «B» и задачу «C1». Просто, понятно и доступно. Автор - репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать


Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.