Геометрический парадокс: прямой угол равен тупому

Я очень люблю эту задачу. Мне нравится наблюдать за реакцией учеников и за процессом поиска решения. Самое приятное - что доказательство полностью соответствует чертежу, основано на известных теоремах, и логических ошибок нет ни в одном его пункте :-)

Итак, прямой угол равен тупому, и сейчас мы это докажем.

Построение.

Проведем отрезок $AB$ . Построим углы $C \mkern -2mu AB$ – прямой и $AB \mkern -2mu D$ – тупой.

Построим отрезки $AC=B \mkern -2mu D$ .

Соединим точки $C$ и $D$ .

Пусть $M$ — середина $AB$ , $K$ — середина $CD$ .
Проведем серединный перпендикуляр $M \mkern -2mu N$ к отрезку $AB$ и серединный перпендикуляр $K \mkern -2mu N$ к отрезку $CD$ .
$M \mkern -2mu N$ и $K \mkern -2mu N$ пересекаются в точке $N$ .

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABN$ . Он равнобедренный — поскольку $M$ — середина $AB$ ,
$M \mkern -2mu N$ перпендикулярен $AB$ (по построению), а если в треугольнике высота одновременно является медианой,
значит, он равнобедренный. Следовательно, $AN=BN$ , угол $M \mkern -2mu AN$ равен углу $M \mkern -2mu BN$ .
Аналогично, треугольник $CDN$ — равнобедренный, следовательно,
$CN=DN$ .
Рассмотрим треугольники $C \mkern -2mu AN$ и $D \mkern -2mu B \mkern -2mu N$ .
Поскольку $AN=BN$ , $CN=DN$ (по доказанному), а $AC=B \mkern -2mu D$ (по построению), значит, треугольник $C \mkern -2mu AN$ равен треугольнику $D \mkern -2mu B \mkern -2mu N$ (по трём сторонам).
Следовательно, угол $C \mkern -2mu AN$ равен углу $D \mkern -2mu B \mkern -2mu N$ .
Мы доказали, что
угол $C \mkern -2mu AN$ равен углу $D \mkern -2mu B \mkern -2mu N$ ,
угол $M \mkern -2mu AN$ равен углу $M \mkern -2mu BN$ .
Поскольку угол $C \mkern -2mu AN$ равен сумме углов $M \mkern -2mu AN$ и $CAM$ ,
а угол $D \mkern -2mu B \mkern -2mu N$ равен сумме углов $M \mkern -2mu BN$ и $DB \mkern -2mu A$ , мы получаем, что
угол $C \mkern -2mu AM$ равен углу $DB \mkern -2mu A$ .

Получили, что прямой угол равен тупому. Что и требовалось доказать :-)

Чтобы разгадать этот парадокс, сделайте аккуратный чертеж. Тогда вы кое-что заметите.
Если вы учитель или репетитор – дайте эту задачу своим ученикам. Ведь они привыкли, что чертёж должен быть верным, а преподаватель — авторитет и поэтому всегда говорит правду :-)

Еще один геометрический парадокс: Катет равен гипотенузе.

«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть «B» и задачу «C1». Просто, понятно и доступно. Автор - репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене ~~5000~~ 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.