Геометрический парадокс: прямой угол равен тупому

Я очень люблю эту задачу. Мне нравится наблюдать за реакцией учеников и за процессом поиска решения. Самое приятное - что доказательство полностью соответствует чертежу, основано на известных теоремах, и логических ошибок нет ни в одном его пункте :-)

Итак, прямой угол равен тупому, и сейчас мы это докажем.

Построение.

Проведем отрезок \(AB\). Построим углы \(C \mkern -2mu AB\) – прямой и \(AB \mkern -2mu D\) – тупой.

Построим отрезки \(AC=B \mkern -2mu D\).

Соединим точки \(C\) и \(D\).

Пусть \(M\) — середина \(AB\), \(K\) — середина \(CD\).
Проведем серединный перпендикуляр \(M \mkern -2mu N\) к отрезку \(AB\) и серединный перпендикуляр \(K \mkern -2mu N\) к отрезку \(CD\).
\(M \mkern -2mu N\) и \(K \mkern -2mu N\) пересекаются в точке \(N\).

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольник \(ABN\). Он равнобедренный — поскольку \(M\) — середина \(AB\),
   \(M \mkern -2mu N\) перпендикулярен \(AB\) (по построению), а если в треугольнике высота одновременно является медианой,
   значит, он равнобедренный. Следовательно, \(AN=BN\), угол \(M \mkern -2mu AN\) равен углу \(M \mkern -2mu BN\).
2. Аналогично, треугольник \(CDN\) — равнобедренный, следовательно,
   \(CN=DN\).
3. Рассмотрим треугольники \(C \mkern -2mu AN\) и \(D \mkern -2mu B \mkern -2mu N\).
   Поскольку \(AN=BN\), \(CN=DN\) (по доказанному), а \(AC=B \mkern -2mu D\) (по построению), значит, треугольник \(C \mkern -2mu AN\) равен треугольнику \(D \mkern -2mu B \mkern -2mu N \) (по трём сторонам).
   Следовательно, угол \(C \mkern -2mu AN\) равен углу \(D \mkern -2mu B \mkern -2mu N\).
4. Мы доказали, что
   угол \(C \mkern -2mu AN\) равен углу \(D \mkern -2mu B \mkern -2mu N\),
   угол \(M \mkern -2mu AN\) равен углу \(M \mkern -2mu BN\).
5. Поскольку угол \(C \mkern -2mu AN\) равен сумме углов \(M \mkern -2mu AN\) и \(CAM\),
   а угол \(D \mkern -2mu B \mkern -2mu N\) равен сумме углов \(M \mkern -2mu BN\) и \(DB \mkern -2mu A\), мы получаем, что
   угол \(C \mkern -2mu AM\) равен углу \(DB \mkern -2mu A\).

Получили, что прямой угол равен тупому. Что и требовалось доказать :-)

Чтобы разгадать этот парадокс, сделайте аккуратный чертеж. Тогда вы кое-что заметите.
Если вы учитель или репетитор – дайте эту задачу своим ученикам. Ведь они привыкли, что чертёж должен быть верным, а преподаватель — авторитет и поэтому всегда говорит правду :-)

Еще один геометрический парадокс: Катет равен гипотенузе.

«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть «B» и задачу «C1». Просто, понятно и доступно. Автор - репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать