Геометрия на ЕГЭ по математике

На Профильном ЕГЭ по математике две задачи по планиметрии и две задачи по стереометрии, по одной в Части 1 и Части 2. Задания по планиметрии и стереометрии из Части 2 оцениваются в 3 первичных балла.

На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — определения, формулы и теоремы с доказательствами, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии.

Как проверить, знаете ли вы геометрию? Мы подготовили для вас краткую программу. Она поможет вам повторить планиметрию, когда вы готовитесь к ЕГЭ. Все ответы есть на страницах нашего сайта.

А учителям и репетиторам такая программа поможет проверить знания учеников перед ЕГЭ.

Геометрия на ЕГЭ, программа для повторения

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника \(ABC\) равны \(4,6\) и \(8\) сантиметров соответственно. Постройте треугольник \(ABC\) с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) равен \(48\) градусов, сторона \(AB\) равна \(2\), \(BC\) равна \(9\). Постройте треугольник \(ABC\) с помощью линейки и транспортира.
в) В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC\) равна \(5\), угол \(B\) равен \(26^{\circ}\), угол \(C\) равен \(58^{\circ}\). Постройте треугольник \(ABC\) с помощью линейки и транспортира.

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) Три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) Три биссектрисы.
в) Три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса:
— для острого угла прямоугольного треугольника;
— для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы  \(S=\frac{1}{2}ah\)  и  \(S=\frac{1}{2}ab\sin C\).

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник \(ABC\). Постройте:
а) окружность, вписанную в данный треугольник;
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

Это минимальная программа по планиметрии, необходимая для решения заданий 1 Части Профильного ЕГЭ.

Такая же программа у нас есть и по стереометрии.

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.

Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:

«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».

И несколько полезных советов для решения задач по геометрии на ЕГЭ.

1) Задачи ЕГЭ по планиметрии решаются без сложных формул. Все необходимые факты, определения и теоремы – на этой странице.

2) Часто пункт (а) задачи по планиметрии из Части 2 Профильного ЕГЭ содержит подсказку для решения пункта (б).

3) Обратите внимание на теорему о секущей и касательной, а также на свойство биссектрисы. Их трудно найти в учебнике. А в задачах ЕГЭ они применяются постоянно.

4) Старшеклассники очень любят теорему Фалеса. Но на самом деле применяется она очень редко. Намного чаще применяются три признака подобия треугольников:

- по двум углам,

- по углу и двум прилежащим к нему сторонам,

- по трем пропорциональным сторонам.

5) Самое важное – правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – теория. Затем – доказательство полезных фактов и классических схем. И только после этого – реальные задания Профильного ЕГЭ.