Степенью называется выражение вида \(a^c\).
Здесь \(a\) — основание степени, \(c\) — показатель степени.
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
По определению, \(a^1=a\).
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
\(a^2=a \cdot a\)
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя два раза.
\(a^3=a \cdot a \cdot a\)
Возвести число в натуральную степень \(n\) — значит умножить его само на себя \(n-1\) раз:
\(a^n=\) \(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\displaystyle n}.\)
То есть, показатель степени показывает, сколько раз должен быть записан множитель.
к оглавлению ▴Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
По определению, \(a^0=1\).
Это верно для \(a\neq 0\). Выражение \(0^{0}\) не определено.
Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
\(a^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a};\)
\(a^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^2};\)
\(a^{-n}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^n}.\)
Конечно, все это верно для \(a\neq 0\), поскольку на ноль делить нельзя.
Например,
\(5^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{5^2};\)
\(\left( \genfrac{}{}{}{0}{1}{2} \right)^{-1}=2;\)
\(\left( \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} \right)^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{7}{2}.\)
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.
\(\left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{-2}=1 : \left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{2}=\left( \genfrac{}{}{}{0}{3}{5} \right)^{2}=\genfrac{}{}{}{0}{9}{25}.\)
Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби \(\genfrac{}{}{}{0}{p}{q}\), где \(p\) — целое, \(q\) — натуральное.
Здесь нам понадобится новое понятие — корень \(n\)-степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.
Определение.
Арифметический квадратный корень из числа \(a\) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
Согласно определению, \(\left (\sqrt{a} \right )^2=a; \, \, \sqrt{a}\geq 0; \, \, a\geq 0.\)
В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение \(\sqrt{a}\) для нас сейчас имеет смысл только при \(a\geq 0\).
Выражение \(\sqrt{a}\) всегда неотрицательно, т.е. \(\sqrt{a}\geq 0\). Например, \(\sqrt{25}=5\).
Свойства арифметического квадратного корня:
\( \sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \; \sqrt{a^2}=\left|a\right| , \; \sqrt{a^{2n}}={\left|a\right|}^n;\)
\( \sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{a}{b}}=\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\)
Запомним важное правило: \(\sqrt{a^2}=\left|a\right| .\)
По определению, 
.
Аналогично, кубический корень из \(a\) — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число \(a\).
\(\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \right) ^3 = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}.\)
Например, \(\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{8} = 2\), так как \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) ;
\(\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{1000} = 10\), так как \(10^3 = 1000\);
\(\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{-\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}} = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5}\), так как \(\left( -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5} \right) ^3 = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}\).
Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Теперь мы можем дать определение корня \(n\)-ной степени для любого целого \(n\).
к оглавлению ▴Корень \(n\)-ной степени из числа \(a\) — это такое число, при возведении которого в \(n\)-ную степень получается число \(a\).
Например,
\(\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 5]{32} = 2;\)
\(\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 4]{81} = 3;\)
\(\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{\mathstrut 0,001} = 0,1.\)
Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.
Итак, \(\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}\) — такое число, что \(\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^n = a\). Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.
По определению,
\(a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = \sqrt{a},\)
\(a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a},\)
в общем случае \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}.\)
Сразу договоримся, что основание степени \(a\) больше 0.
Например,
\(25^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = 5;\)
\(8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 2;\)
\(81^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4}} = 3;\)
\(100000^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 5}} = 10;\)
\(0,001^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 0,1.\)
Выражение \(a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}}\) по определению равно \(\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m}\).
При этом также выполняется условие, что \(a\) больше 0.
\(a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m} = \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^m.\)
Например,
\(8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 3}} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{8} \right) ^4 = 2^4 = 16;\)
\(a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 5}} = \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 5]{a^3} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 5]{a} \right) ^3;\)
\(b^{-\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 2}{\scriptstyle 3}} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{b^2}}. \)
Запомним правила действий со степенями:
\(a^ma^n = a^{m+n}\) — при перемножении степеней показатели складываются;
\(\genfrac{}{}{}{0}{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) — при делении степени на степень показатели вычитаются;
\(\left( a^m \right) ^n = \left( a^n \right) ^m = a^{mn}\) — при возведении степени в степень показатели перемножаются;
\(a^nb^n = \left( ab \right) ^n;\)
\(\genfrac{}{}{}{0}{a^n}{b^n} = \left( \genfrac{}{}{}{0}{a}{b} \right) ^n.\)
Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:
1. \(\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{ \mathstrut 2,8} \cdot \sqrt{ \mathstrut 4,2}}{\sqrt{ \mathstrut 0,24}}= \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{2,8 \cdot 4,2}{0,24}} = \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{28 \cdot 42}{24}}=\sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{7 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 6}} = \)
\(= \sqrt{ \mathstrut 7 \cdot 7} = 7.\)
Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.
2. \(\genfrac{}{}{}{0}{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^2}{14}= \genfrac{}{}{}{0}{ 2^2 \cdot \left( \sqrt{7} \right) ^2}{14} = \genfrac{}{}{}{0}{4 \cdot 7}{14} = 2.\)
3. \(\genfrac{}{}{}{0}{ \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 9]{7} \cdot \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 18]{7}}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 6]{7}}=\genfrac{}{}{}{0}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9}} \cdot 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}}}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}}=7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} + \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}- \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}= 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6} - \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}=7^0=1.\)
Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{11a^6b^3-{\left(3a^2b\right)}^3}{4a^6b^6}\) при \(b = 2.\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{11a^6b^3-{\left(3a^2b\right)}^3}{4a^6b^6}=\displaystyle \frac{11a^6b^3-{27a^6b}^3}{4a^6b^6}=\displaystyle \frac{-16a^6b^3}{4a^6b^6}=-\displaystyle \frac{4}{b^3}.\)
При \(b = 2\) получим \(-\displaystyle \frac{4}{2^3}=-\displaystyle \frac{4}{8}=-0,5 .\)
Ответ: -0,5.
5. Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{a^{3,21}\ \cdot \ a^{7,36}}{a^{8,57}}\) при \(a=12 .\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{a^{3,21}\ \cdot \ a^{7,36}}{a^{8,57}}=\displaystyle \frac{a^{3,21+7,36}}{a^{8,57}}=\displaystyle \frac{a^{10,57}}{a^{8,57}}=a^{10,57-8,57}=a^2.\)
При a = 12 получим \({12}^2=144.\)
Мы воспользовались свойствами степеней.
Ответ: 144.
6. Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{{\left(b^{\sqrt{3}}\right)}^{2\sqrt{3}}}{b^3}\) при \(b=- 5\).
Решение: \(\displaystyle \frac{{\left(b^{\sqrt{3}}\right)}^{2\sqrt{3}}}{b^3}=\displaystyle \frac{b^{\sqrt{3}\ \cdot \ 2\sqrt{3}}}{b^3}=\displaystyle \frac{b^6}{b^3}=b^3 .\)
При \(b=- 5\) получим: \({(-5)}^3=-125 .\)
Ответ: -125.
7. Расположите в порядке возрастания: \({\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3};\) \(\displaystyle \frac{7}{8};\) \({\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3}.\)
Решение:
Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.
\(\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^{-3}=\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^3.\) Так как \(\displaystyle \frac{8}{7}> 1\), то \(\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^3> 1.\).
\(\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^{-3}=\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^3.\) Так как \(\displaystyle \frac{7}{8}< 1\), то \(\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^3< 1\).
Сравним \(\displaystyle \frac{7}{8}\) и \({\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3\), для этого оценим их разность:
\(\displaystyle \frac{7}{8} - {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3=\displaystyle \frac{7}{8} - \displaystyle \frac{7^3}{8^3}=\displaystyle \frac{7\ \cdot \ 8^2-7^3}{8^3}=\displaystyle \frac{7(8^2-7^2)}{8^3}=\displaystyle \frac{7(64-49)}{8^3}> 0\), значит \(\displaystyle \frac{7}{8}> {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3 .\)
Получим : \( {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3< \displaystyle \frac{7}{8} < {\left( \displaystyle \frac{8}{7}\right)}^3\), поэтому в порядке возрастания выражения будут расположены так
\({\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3} ; \displaystyle \frac{7}{8}\ ;\ {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3}.\)
Ответ: \({\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3}; \displaystyle \frac{7}{8}\ ;\ {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3}.\)
8. Представьте выражение в виде степени: \(\displaystyle \frac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}.\)
Решение:
Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:
\(\displaystyle \frac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}=\displaystyle \frac{x^{-6}(1+x^2+x^4)}{x^2(1+x^2+x^4)}=\displaystyle \frac{x^{-6}}{x^2}=x^{-6-2}=x^{-8}.\)
Ответ: \(x^{-8} .\)
9. Упростите выражение: \(\displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{6\ \cdot \ {12}^n} .\)
Решение:
Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:
\(\displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{6\ \cdot \ {12}^n}=\displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{2\ \cdot 3\ \cdot \ {(2^2\ \cdot 3\ )}^n}= \displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{2^1\cdot 3^1\cdot 2^{2n}\ \cdot \ 3^n} = \)
(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)
\( = 2^{2n-1-1-2n}\cdot 3^{n+1-1-n}=2^{-2}\cdot 3^0=\displaystyle \frac{1}{2^2}\cdot 1=\displaystyle \frac{1}{4} = 0,25. \)
Ответ: 0,25.
10. Чему равно значение выражения \(\displaystyle \frac{a^{-4}\cdot {\ a}^{-3}}{a^{-5}}\) при \(a=\displaystyle \frac{1}{3}\)?
Решение:
\(\displaystyle \frac{a^{-4}\cdot {\ a}^{-3}}{a^{-5}}=a^{-4+\left(-3\right)-(-5)}=a^{-2}.\)
При \(a=\displaystyle \frac{1}{3},\) получим \({\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9.\)
Ответ: 9.
к оглавлению ▴11. Какое из чисел больше: \(\sqrt{5}+\sqrt{6}\) или \(2+\sqrt{7}\)?
Решение:
Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):
\({\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2= 5 + 2\sqrt{5\cdot 6}+6=11+2\sqrt{30};\)
\({\left(2+\sqrt{7}\right)}^2={\left(\sqrt{4}+\sqrt{7}\right)}^2= 4 + 2\sqrt{4\cdot 7}+7=11+2\sqrt{28}.\)
Найдем разность полученных результатов:
\(11+2\sqrt{30}-(11+2\sqrt{28})=2(\sqrt{30}-\sqrt{28})> 0,\) так как \(\sqrt{30}> \sqrt{28}.\)
Значит, первое число больше второго.
Ответ: \(\sqrt{5}+\sqrt{6}> \ 2+\sqrt{7}.\)
к оглавлению ▴Если дана дробь вида \(\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}},\) то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{b}\):
\(\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{(\sqrt{b})^2} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b}.\)
Тогда знаменатель станет рациональным.
Если дана дробь вида \(\displaystyle \frac{c}{\ a\ \pm \ \sqrt{b}}\) или \(\displaystyle \frac{c}{\ \ \sqrt{a}\ \pm \ \sqrt{b}},\) то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.
Сопряженные выражения - это выражения, отличающиеся только знаками перед вторыми слагаемыми. Например,
\(a + \sqrt{b}\) и \(a-\sqrt{b};\) \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) и \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) - сопряженные выражения.
Пример:
\(\displaystyle \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\displaystyle \frac{c (\sqrt{a}+\ \sqrt{b})}{ (\sqrt{a}- \sqrt{b})(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}=\)
\(=\displaystyle \frac{c (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{{ \left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2\ \ }=\displaystyle \frac{c(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{a-b } . \)
12. Вот несколько примеров - как избавиться от иррациональности в знаменателе:
Пример 1.
\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{27}}=\ \displaystyle \frac{2\ \cdot \ \sqrt{3}}{\sqrt{3^3}\ \cdot \ \sqrt{3}}=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3^4}\ }=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}.\)
Пример 2.
\(\displaystyle \frac{6}{1+\sqrt{3}} = \displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\)
\(=\displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{2}=3(\sqrt{3}-1).\)
Пример 3.
\(\displaystyle \frac{33}{7-3\sqrt{3}} = \displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3})(7+3\sqrt{3})}= \displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49\ -9\ \cdot 3}=\)
\(\displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{22}=\displaystyle \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2}.\)
Пример 4.
\(\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}=\)
\(=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=4(\sqrt{6}-\sqrt{3}).\)
Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.
Пример 5.
\(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\ \displaystyle \frac{(5+3\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}= \)
\(=\displaystyle \frac{10+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}-9}{2^2-{(\sqrt{3}\ )}^2}=\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{4-3}=\ 1+\sqrt{3}.\)
13. Сравните \(\sqrt{140}\) и \(\displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}}.\)
1) \( \displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}=\displaystyle \frac{14}{7^2-{(4\sqrt{3})}^2}=\)
\( =\displaystyle \frac{14}{49-48}=14.\)
2) Сравним \(\sqrt{140}\) и 14.
\(14 = \sqrt{{14}^2}=\sqrt{196},\) \( 140< 196,\) тогда и \(\sqrt{140}< \sqrt{196},\) а значит,
\(\sqrt{140}< \displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}}.\)
Ответ: \(\sqrt{140}\) меньше.
к оглавлению ▴Покажем несколько примеров.
14. Упростите: выражения: \(\sqrt{3-2\sqrt{2}};\) \(\sqrt{7+4\sqrt{3}};\) \(\sqrt{19-8\sqrt{3}}.\)
Пример 1.
\(\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2+1-2\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+1}=\)
\(=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2} = \ \left|\sqrt{2}-1\right| = \sqrt{2}-1,\) т.к. \(\sqrt{2}> 1.\)
Пример 2.
\(\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \ \sqrt{4+3+4\sqrt{3\ }}=\sqrt{2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3\ }+{(\sqrt{3\ })}^2}\ =\)
\(= \sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2} = 2+\sqrt{3}. \)
Пример 3.
\(\sqrt{19-8\sqrt{3}}\ = \ \sqrt{16+3-8\sqrt{3\ }}=\sqrt{4^2-2\cdot 4\cdot \sqrt{3\ }+{(\sqrt{3\ })}^2}\ = \)
\(=\sqrt{{(4-\sqrt{3})}^2} = 4-\sqrt{3},\)
так как \(4-\sqrt{3}=\sqrt{16}-\sqrt{3}> 0 .\)
Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:
\(\sqrt{a^2}=\left|a\right|. \)
15. Вычислите значение выражения: \(\sqrt{{(\sqrt{3}-1)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{3}-2)}^2}.\)
Решение:
\(\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-1|+|\sqrt{3}-2|=\)
\(=\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}=1.\)
Ответ: 1.
16. Вычислите значение выражения: \(\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}+\sqrt{{(3-\sqrt{5})}^2}.\)
Решение: \(\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}+\sqrt{{(3-\sqrt{5})}^2}= \left|2-\sqrt{5}\right|+\left|3-\sqrt{5}\right|=\)
\( =\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5} = 1.\)
Ответ: 1.
17. Вычислите значение выражения: \((x - 3) \sqrt{\displaystyle \frac{1}{x^2-6x+9}},\) если \(x< 3.\)
Решение:
\((x - 3) \sqrt{\displaystyle \frac{1}{x^2-6x+9}}=\left(x\ -\ 3\right)\sqrt{\displaystyle \frac{1}{{\left(x-3\right)}^2}}=\displaystyle \frac{x-3}{\left|x-3\right|}=\)
\(=\displaystyle \frac{x-3}{3-x}=-1.\)
Если \(x< 3,\) то \(x - 3< 0,\) следовательно \(\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)=3-x.\)
Ответ: - 1.
18. Вычислите: \((\sqrt{3}-2)(\sqrt{7+4\sqrt{3}}).\)
Решение:
\(\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right) = \sqrt{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^2(7+4\sqrt{3}})= \)
\(=\sqrt{\left(3-4\sqrt{3}+4\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}=\sqrt{\left(7-4\sqrt{3}\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}=\sqrt{7^2-{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=\)
\( = \sqrt{49-48} = 1.\)
Ответ: 1.
Рассмотрим уравнение вида \(a^x=a^y,\) где \(a> 0.\)
Это равенство выполняется, только если \(x = y.\)
Подробно об таких уравнениях - в статье «Показательные уравнения».
При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.
19. Решите уравнение: \(2^{3-x}=16.\)
Решение:
\(2^{3-x}=2^4,\) тогда \(3 - x = 4, \; x = - 1.\)
Ответ: -1.
20. Решите уравнение: \({27}^{\frac{1}{3}x-1}-3=0. \)
Решение:
\({(3^3)}^{\frac{1}{3}x-1}=3\),
\(3^{3(\frac{1}{3}x-1)}=3^1;\)
\(3\left(\frac{1}{3}x-1\right)=1, \; x - 3 = 1, \; x = 4.\)
Ответ: 4.
21. Решите уравнение: \({\left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x+1}={\left(3\sqrt{3}\right)}^x.\)
Решение:
\({(3^{-\frac{1}{2}})}^{2x+1}={(3^{1+\frac{1}{2}})}^x\),
\(3^{-\frac{1}{2} \cdot (2x+1)}=3^{\frac{3}{2}x}.\)
Значит, \(-\displaystyle \frac{1}{2}\ \cdot \left(2x+1\right)=\displaystyle \frac{3}{2}x,\) \(- 2x - 1 = 3x,\) \(- 5x = 1 ,\) \( x = -\displaystyle \frac{1}{5}.\)
Ответ: -0,2.
Если вы хотите разобрать большее количество примеров - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
